Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Неравенства с модулем

Знаменатель $|x^2+3x|$ по свойству модуля всегда неотрицателен, а в ноль обращается только там, где $x^2+3x=0$, то есть при $x=0$ и $x=-3$. Значит, дробь неотрицательна ровно тогда, когда её числитель неотрицателен, а знаменатель не равен нулю. Получаем систему: $$x^4-6x^2+5\ge0,\qquad x\ne0,\ x\ne-3.$$ Решаем биквадратное неравенство заменой $t=x^2\ (t\ge0)$: $t^2-6t+5\ge0$, корни $t=1,\ t=5$, значит $t\le1$ или $t\ge5$ (парабола вверх).

Возвращаясь к $x$: из $x^2\le1$ следует $-1\le x\le1$; из $x^2\ge5$ следует $x\le-\sqrt5$ или $x\ge\sqrt5$.

Таким образом числитель неотрицателен при $$x\le-\sqrt5\quad\text{или}\quad -1\le x\le1\quad\text{или}\quad x\ge\sqrt5.$$

Теперь из этого множества нужно исключить точки $x=0$ и $x=-3$, так как в них знаменатель равен нулю и дробь не определена. Точка $x=-3$ лежит в промежутке $x\le-\sqrt5$ (так как $-3<-\sqrt5\approx-2{,}236$), поэтому этот луч разбивается на $(-\infty;-3)$ и $(-3;-\sqrt5]$. Точка $x=0$ лежит в отрезке $[-1;1]$, поэтому он разбивается на $[-1;0)$ и $(0;1]$.

В итоге получаем объединение промежутков: $$(-\infty;-3)\cup(-3;-\sqrt5]\cup[-1;0)\cup(0;1]\cup[\sqrt5;+\infty).$$