Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Неравенства с модулем

ОДЗ: $x\neq0$ (модуль и дробь с $x^2$ в знаменателе).

Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю $x^2$: $$1-\frac{2}{|x|}\le\frac{23}{x^2}\iff\frac{x^2-2|x|-23}{x^2}\le0.$$

Заметим, что $x^2=|x|^2$, поэтому удобно сделать замену $t=|x|\ge0$ и рассматривать квадратный трёхчлен $t^2-2t-23$. Его корни: $t=1\pm2\sqrt6$. Значит $$t^2-2t-23=(t-1-2\sqrt6)(t-1+2\sqrt6)=(t-1-2\sqrt6)(t+2\sqrt6-1).$$

Второй множитель $t+2\sqrt6-1$ всегда положителен при $t\ge0$, так как $2\sqrt6-1>0$. Поэтому знак всего выражения определяется первым множителем, и неравенство равносильно $$\frac{|x|-1-2\sqrt6}{x^2}\le0,\quad x\neq0.$$

Так как $x^2>0$ (кроме нуля, который уже исключён), знак дроби совпадает со знаком числителя: $$|x|-1-2\sqrt6\le0\iff|x|\le1+2\sqrt6.$$

Раскрываем модуль: $-1-2\sqrt6\le x\le1+2\sqrt6$, но с учётом $x\neq0$ получаем два промежутка: $$-1-2\sqrt6\le x<0\quad\text{или}\quad0<x\le1+2\sqrt6.$$

Записываем ответ в виде объединения полуинтервалов.