Рациональные неравенства с логарифмами: гайд к заданию 15 ЕГЭ

О чём эта подтема

В заданиях 15 профильного ЕГЭ часто встречаются неравенства, где логарифмическое выражение входит в конструкцию, которая по форме напоминает рациональную дробь или многочлен: сумма, разность или частное логарифмов, логарифм в степени, логарифмы с разными основаниями одного и того же аргумента. Такие неравенства называют «рациональными относительно логарифмической функции», потому что если ввести замену $t=\log_a f(x)$ (или подобную), исходное неравенство превращается в обычное рациональное неравенство относительно $t$. Вся сложность задачи распадается на два независимых блока: (1) грамотно свести неравенство к рациональному через свойства логарифмов и замену переменной; (2) решить рациональное неравенство и корректно вернуться к исходной переменной, не забыв про область допустимых значений (ОДЗ). Именно на границе этих двух блоков чаще всего теряются баллы.

Что нужно знать

Для уверенного решения нужно свободно владеть несколькими фактами.

Свойства логарифмов, которые чаще всего используются для приведения к одному основанию и виду: $$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a},\qquad \log_{a^n}b=\frac{1}{n}\log_a b,\qquad \log_a b^{n}=n\log_a b\ (b>0).$$

Монотонность логарифмической функции: $y=\log_a x$ возрастает при $a>1$ и убывает при $0<a<1$. От этого зависит, сохраняется или меняется знак неравенства при переходе от неравенства для $t=\log_a x$ обратно к $x$.

ОДЗ логарифма: аргумент строго положителен, основание положительно и не равно 1. Если логарифм стоит в знаменателе дроби, дополнительно требуется, чтобы всё выражение в знаменателе (включая сам логарифм) не равнялось нулю.

Метод интервалов для рациональных неравенств: неравенство вида $\dfrac{P(t)}{Q(t)}\ge 0$ (или с другим знаком) решается через разложение числителя и знаменателя на множители, нанесение нулей на числовую прямую и определение знака на каждом промежутке; нули знаменателя всегда исключаются из ответа, нули числителя включаются в зависимости от строгости неравенства.

Умение решать квадратные и более простые уравнения относительно новой переменной $t$ — без этого не получится найти критические точки после замены.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения таких неравенств почти всегда одинаковый.

Шаг 1. Найти ОДЗ исходного неравенства: все аргументы логарифмов строго больше нуля, все основания положительны и не равны 1, знаменатели дробей не равны нулю.

Шаг 2. Привести все логарифмы к одному основанию (обычно к тому, которое встречается чаще), используя формулу перехода к другому основанию. Если в неравенстве есть логарифм от степени, вынести показатель множителем перед логарифмом.

Шаг 3. Ввести замену переменной, например $t=\log_a x$ или $u=\lg f(x)$, чтобы неравенство приняло вид рационального неравенства относительно новой переменной.

Шаг 4. Решить полученное рациональное неравенство методом интервалов: перенести все члены в одну часть, привести к общему знаменателю, разложить числитель и знаменатель на множители, найти критические точки, расставить знаки на промежутках, выбрать нужные промежутки с учётом строгости неравенства и исключить точки, где знаменатель обращается в нуль.

Шаг 5. Вернуться от переменной $t$ к исходной переменной $x$, решая простые логарифмические неравенства вида $t\le c$ или $t>c$. Обязательно учесть основание логарифма: при основании больше 1 направление неравенства сохраняется, при основании меньше 1 — меняется на противоположное.

Шаг 6. Пересечь полученное множество значений $x$ с ОДЗ из шага 1 — это финальная и обязательная операция, без неё возможна потеря или добавление лишних решений.

Шаг 7. Записать ответ как объединение промежутков, аккуратно проверив, какие границы входят в ответ (закрытые скобки) и какие не входят (открытые).

Разбор примера

Пример 1. Решить неравенство $$\frac{\log_2 x-5}{1-2\log_2 x}\ge 2\log_2 x.$$

ОДЗ: $x>0$ и $1-2\log_2 x\neq 0$, то есть $\log_2 x\neq \frac12$.

Введём замену $t=\log_2 x$. Неравенство примет вид $$\frac{t-5}{1-2t}\ge 2t.$$

Перенесём всё в одну сторону и приведём к общему знаменателю: $$\frac{t-5}{1-2t}-2t\ge 0 \;\Longrightarrow\; \frac{t-5-2t(1-2t)}{1-2t}\ge 0 \;\Longrightarrow\; \frac{4t^{2}-t-5}{1-2t}\ge 0.$$

Разложим квадратный трёхчлен: $4t^2-t-5=(4t-5)(t+1)$ (корни $t=\dfrac54$ и $t=-1$). Тогда $$\frac{(4t-5)(t+1)}{1-2t}\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{(4t-5)(t+1)}{2t-1}\le 0.$$

Критические точки: $t=-1,\ t=\dfrac12,\ t=\dfrac54$. Метод интервалов даёт знак «$-$» при $t<-1$, «$+$» на $(-1;\,1/2)$, «$-$» на $(1/2;\,5/4)$ и «$+$» при $t>5/4$. Нам нужны промежутки со знаком «$-$» или нулём числителя (не совпадающим с нулём знаменателя): $$t\in(-\infty;-1]\cup\left(\tfrac12;\tfrac54\right].$$

Точка $t=\frac12$ исключается всегда, так как в ней знаменатель обращается в нуль.

Возвращаемся к $x$, используя $t=\log_2 x$ и то, что $y=\log_2 x$ возрастает (основание $2>1$), поэтому направление неравенств сохраняется:

$t\le -1\Rightarrow \log_2 x\le -1\Rightarrow x\le 2^{-1}=0{,}5$; с учётом $x>0$ получаем $x\in(0;0{,}5]$.

$\frac12<t\le\frac54\Rightarrow \sqrt2<x\le 2^{5/4}=\sqrt[4]{32}$.

Объединяя, получаем ответ: $$x\in(0;0{,}5]\cup(\sqrt2;\sqrt[4]{32}].$$

Пример 2. Решить неравенство $$\frac{\lg(5y^2-2y+1)}{\lg(4y^2-5y+1)^3}\le\frac{\log_{5^3}7}{\log_57}.$$

Сначала упростим правую часть. По формуле перехода $\log_{125}7=\dfrac{\log_5 7}{\log_5125}=\dfrac{\log_57}{3}$, поэтому $$\frac{\log_{125}7}{\log_57}=\frac13.$$

Обозначим $A=5y^2-2y+1$, $B=4y^2-5y+1$. Знаменатель левой части равен $3\lg B$ (так как $\lg B^3=3\lg B$), поэтому неравенство приобретает вид $$\frac{\lg A}{3\lg B}\le\frac13 \;\Longleftrightarrow\; \frac{\lg A}{\lg B}\le 1.$$

ОДЗ: $A>0$ (дискриминант $A$ равен $4-20=-16<0$, значит $A>0$ при всех $y$ — ограничений нет); $B>0$ и $B\neq1$. Корни $B=0$: $y=\dfrac14,\ y=1$; корни $B=1$ (то есть $4y^2-5y=0$): $y=0,\ y=\dfrac54$. Так как парабола $B$ смотрит вверх, $B>0$ при $y<\dfrac14$ или $y>1$; отсюда ОДЗ: $$y\in(-\infty;0)\cup(0;\tfrac14)\cup(1;\tfrac54)\cup(\tfrac54;+\infty).$$

Перенесём единицу в левую часть: $$\frac{\lg A-\lg B}{\lg B}\le0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{\lg(A/B)}{\lg B}\le 0.$$

Так как $A>0,\ B>0$ на ОДЗ, знак $\lg(A/B)$ совпадает со знаком разности $A-B=y^2+3y=y(y+3)$: $A>B$ (т.е. $\lg(A/B)>0$) при $y<-3$ или $y>0$; $A<B$ при $-3<y<0$; $A=B$ при $y=-3$ или $y=0$.

Знак $\lg B$ определяется положением $B$ относительно 1: на $(-\infty;0)$ имеем $B>1$ (значит $\lg B>0$); на $(0;\tfrac14)$ имеем $0<B<1$ (значит $\lg B<0$); на $(1;\tfrac54)$ также $0<B<1$ ($\lg B<0$); на $(\tfrac54;+\infty)$ имеем $B>1$ ($\lg B>0$).

Теперь проверим знак дроби $\dfrac{\lg(A/B)}{\lg B}$ на каждом промежутке ОДЗ:

при $y<-3$: числитель $>0$, знаменатель $>0$ — дробь $>0$, не подходит;

при $-3<y<0$: числитель $<0$, знаменатель $>0$ — дробь $<0$, подходит; в точке $y=-3$ числитель $=0$ — дробь $=0$, тоже подходит;

при $0<y<\tfrac14$: числитель $>0$ (так как $y>0$), знаменатель $<0$ — дробь $<0$, подходит;

при $1<y<\tfrac54$: числитель $>0$, знаменатель $<0$ — дробь $<0$, подходит;

при $y>\tfrac54$: числитель $>0$, знаменатель $>0$ — дробь $>0$, не подходит.

Собирая подходящие промежутки с учётом ОДЗ (точки $y=0$ и $y=\tfrac54$ исключены, так как там $B=1$), получаем ответ: $$y\in[-3;0)\cup\left(0;\tfrac14\right)\cup\left(1;\tfrac54\right).$$

Типичные ошибки

Самая частая ошибка — забыть про ОДЗ до замены переменной: если сразу вводить $t=\log_a f(x)$ без проверки $f(x)>0$, легко получить лишние решения, которые потом никак не отсеиваются. Вторая распространённая ошибка — домножение неравенства на знаменатель дробного логарифмического выражения без учёта его знака: знаменатель может менять знак на промежутке, и умножение на него «в лоб» ломает неравенство. Третья ошибка — потеря направления неравенства при обратном переходе от $t$ к $x$, если основание логарифма меньше единицы: в этом случае неравенство разворачивается. Часто встречается и ошибка при работе с логарифмом от степени: забывают, что $\lg f(x)^3=3\lg f(x)$ верно только при $f(x)>0$, а не при произвольном знаке выражения под степенью. Наконец, многие теряют или, наоборот, добавляют границы промежутков — забывают проверить, обращается ли в этой точке знаменатель в нуль, и не отличают нестрогое неравенство от строгого.

На что обратить внимание на экзамене

Начинайте решение всегда с ОДЗ — это экономит время на проверке ответа в конце и сразу отсекает часть промежутков. После замены переменной решайте рациональное неравенство отдельно, как самостоятельную задачу, не путая её с исходной — это снижает число ошибок. При обратном переходе от $t$ к $x$ обязательно проверяйте основание логарифма и направление неравенства. В конце обязательно пересекайте найденное множество с ОДЗ — даже если рациональное неравенство после замены дало «красивый» ответ, часть его может не входить в область определения. Записывая финальный ответ, внимательно расставляйте круглые и квадратные скобки: включение или исключение граничной точки — это отдельный балл, который часто теряют по невнимательности.