Задание 15 ЕГЭ: неравенства с логарифмом по переменному основанию

О чём эта подтема

В задании 15 профильного ЕГЭ часто встречаются неравенства, где основание логарифма — не число, а выражение с переменной: $\log_x(\dots)$, $\log_{4x}(\dots)$, $\log_{0{,}5x}(\dots)$ и так далее. Такие неравенства сложнее обычных логарифмических по двум причинам.

Во-первых, у логарифма с переменным основанием ОДЗ шире и требовательнее: нужно следить не только за положительностью аргумента, но и за тем, что основание положительно и не равно единице. Во-вторых, знак логарифмической функции зависит от того, больше единицы основание или меньше — а поскольку основание переменное, это условие может «разбивать» числовую ось на несколько зон с разным поведением неравенства.

Задачи этого типа обычно решаются через переход к единому основанию (обычно постоянному числу, например 2), введение замены $t=\log_a x$ и дальнейшее решение рационального неравенства методом интервалов. Затем результат переводится обратно в переменную $x$ и пересекается с ОДЗ.

Что нужно знать

Для решения неравенств с переменным основанием логарифма нужны следующие факты.

ОДЗ логарифма $\log_{g(x)} f(x)$: $$f(x)>0,\qquad g(x)>0,\qquad g(x)\ne 1.$$

Формула перехода к другому основанию: $$\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}.$$ Эта формула — главный инструмент: с её помощью все логарифмы в неравенстве сводятся к одному постоянному основанию (например 2), и всё выражение превращается в рациональную функцию от $t=\log_2 x$.

Монотонность логарифма зависит от основания:

• если основание $a>1$, то $\log_a$ возрастает, и неравенство $\log_a f\le \log_a g$ равносильно $f\le g$ (с учётом положительности $f,g$);
• если $0<a<1$, то $\log_a$ убывает, и знак неравенства меняется на противоположный: $f\ge g$.

Это свойство заставляет разбивать решение на случаи, когда основание переменное — так как заранее неизвестно, больше оно единицы или меньше.

Свойства произведений с модулем. Если неравенство имеет вид $|A|\cdot B\le 0$, то оно выполняется либо когда $A=0$ (тогда всё произведение равно нулю независимо от знака $B$), либо когда $A\ne0$ и $B\le 0$ (поскольку $|A|>0$ не меняет знак произведения).

Метод интервалов для рационального неравенства $\dfrac{P(t)}{Q(t)}\le 0$: находятся нули числителя и знаменателя, они отмечаются на числовой прямой, определяется знак выражения на каждом промежутке, точки, где знаменатель равен нулю, исключаются, а точки, где числитель равен нулю (и знаменатель не равен нулю), включаются при нестрогом неравенстве.

Как решать: метод и алгоритм

1. Выписать ОДЗ. Для каждого логарифма зафиксировать условия на аргумент (>0) и на основание (>0 и ≠1). Получившееся множество допустимых $x$ держать в уме до самого конца.
2. Свести все логарифмы к одному основанию. Обычно удобно выбрать числовое основание (2, 10 или основание, которое уже встречается в задаче), и переписать каждый логарифм по формуле перехода.
3. Сделать замену. Если после перехода все логарифмы выражаются через $\log_2 x$, ввести $t=\log_2 x$ и получить рациональное неравенство относительно $t$.
4. Решить рациональное неравенство методом интервалов. Разложить числитель и знаменатель на множители, найти критические точки, определить знаки на промежутках, учесть строгость неравенства и исключить точки, где знаменатель равен нулю.
5. Вернуться к переменной $x$. Поскольку $t=\log_2 x$ — возрастающая функция, направление неравенств при обратной замене сохраняется; строго/нестрого — тоже сохраняется.
6. Пересечь результат с ОДЗ. Исключить точки, где основание какого-либо логарифма обращалось в единицу, даже если формально они попадали в полученный интервал.
7. Если в неравенстве есть модуль, умножающий на другое выражение, отдельно рассмотреть случай, когда модуль равен нулю (это всегда решение неисходного неравенства $\le 0$), и случай, когда модуль положителен — тогда знак всего неравенства определяется вторым множителем без изменений.

Разбор примера

Пример 1

Решить неравенство: $$\left|\log_x\dfrac{x}{4}\right|\cdot\log_{4x}(2x^2)\le \left|\log_x\dfrac{x}{4}\right|.$$

Шаг 1. ОДЗ. Для $\log_x(x/4)$: $x>0$, $x\ne1$, и $x/4>0$ (выполняется автоматически). Для $\log_{4x}(2x^2)$: $4x>0\Rightarrow x>0$, $4x\ne1\Rightarrow x\ne\frac14$, и $2x^2>0$ — выполняется при $x\ne0$. Итог ОДЗ: $x>0,\ x\ne\frac14,\ x\ne1$.

Шаг 2. Перенос всего влево и вынесение общего множителя. $$\left|\log_x\dfrac{x}{4}\right|\Big(\log_{4x}(2x^2)-1\Big)\le0.$$

Шаг 3. Случай, когда модуль равен нулю. $$\log_x\dfrac{x}{4}=0\ \Longleftrightarrow\ \dfrac{x}{4}=1\ \Longleftrightarrow\ x=4.$$ При $x=4$ произведение равно нулю независимо от второго множителя — значит, $x=4$ входит в ответ.

Шаг 4. Случай, когда модуль не равен нулю ($x\ne4$). Тогда $|\dots|>0$, и знак произведения совпадает со знаком второго множителя: $$\log_{4x}(2x^2)\le1.$$ Здесь нужно рассмотреть, больше или меньше единицы основание $4x$.

Подслучай А: $4x>1$, то есть $x>\frac14$. Логарифм возрастает, неравенство равносильно сравнению аргументов: $$2x^2\le4x\ \Longleftrightarrow\ 2x(x-2)\le0\ \Longleftrightarrow\ 0\le x\le2.$$ Пересекаем с $x>\frac14$ и исключаем $x=1$ (ОДЗ): получаем $x\in\left(\frac14;1\right)\cup(1;2]$.

Подслучай Б: $0<4x<1$, то есть $0<x<\frac14$. Логарифм убывает, знак меняется: $$2x^2\ge4x\ \Longleftrightarrow\ x\le0\ \text{или}\ x\ge2.$$ Пересечение с $0<x<\frac14$ пусто — решений нет.

Шаг 5. Объединение результатов. $$x\in\left(\dfrac14;1\right)\cup(1;2]\cup\{4\}.$$ Это в точности совпадает с ответом задачи.

Пример 2

Решить неравенство: $$\dfrac{\log_2(2x)\cdot\log_{0{,}5x}2}{\log_{0{,}125x}8}\le1.$$

Шаг 1. ОДЗ. Нужно $x>0$; $0{,}5x>0$ и $0{,}5x\ne1\Rightarrow x\ne2$; $0{,}125x>0$ и $0{,}125x\ne1\Rightarrow x\ne8$. Итого: $x>0,\ x\ne2,\ x\ne8$.

Шаг 2. Переход к одному основанию 2 и замена $t=\log_2x$. $$\log_2(2x)=t+1,\qquad \log_{0{,}5x}2=\dfrac{1}{\log_2(0{,}5x)}=\dfrac{1}{t-1},$$ $$\log_{0{,}125x}8=\dfrac{\log_28}{\log_2(0{,}125x)}=\dfrac{3}{t-3}.$$

Подставляя, получаем: $$\dfrac{(t+1)\cdot\dfrac{1}{t-1}}{\dfrac{3}{t-3}}\le1\ \Longleftrightarrow\ \dfrac{(t+1)(t-3)}{3(t-1)}\le1.$$

Шаг 3. Приведение к единой дроби. $$\dfrac{(t+1)(t-3)-3(t-1)}{3(t-1)}\le0\ \Longleftrightarrow\ \dfrac{t^2-5t}{3(t-1)}\le0\ \Longleftrightarrow\ \dfrac{t(t-5)}{t-1}\le0.$$

Шаг 4. Метод интервалов по $t$. Критические точки: $t=0,\ t=1,\ t=5$ (в точке $t=1$ знаменатель равен нулю — точка исключается). Проверка знаков на промежутках даёт: $$t\in(-\infty;0]\cup(1;5].$$

Шаг 5. Обратная замена $t=\log_2x$. Функция возрастающая, направление неравенств сохраняется: $$\log_2x\le0\ \Longrightarrow\ 0<x\le1;$$ $$1<\log_2x\le5\ \Longrightarrow\ 2<x\le32.$$

Шаг 6. Пересечение с ОДЗ. Из второго промежутка нужно убрать $x=2$ (уже не входит, так как граница открытая) и $x=8$ (нужно исключить отдельно): $$(2;32]\setminus\{8\}=(2;8)\cup(8;32].$$

Итоговый ответ: $$x\in(0;1]\cup(2;8)\cup(8;32].$$ Ответ совпадает с приведённым в условии.

Типичные ошибки

• Пропуск условий ОДЗ на основание. Часто забывают, что основание логарифма должно быть не только положительным, но и отличным от единицы — это приводит к появлению «лишних» точек в ответе (как $x=1$, $x=1/4$, $x=2$, $x=8$ в разобранных примерах).
• Игнорирование смены знака при основании меньше единицы. При переходе от логарифмического неравенства к неравенству между аргументами легко забыть, что при $0<a<1$ знак меняется на противоположный.
• Потеря решения, где выражение в модуле обращается в нуль. В произведении вида $|A|\cdot B\le0$ случай $A=0$ даёт решение автоматически — его часто просто не рассматривают.
• Неверный перевод неравенства с $t$ обратно на $x$. Забывают, что открытая/закрытая граница сохраняется при возрастающей функции $t=\log_2x$, и путают направление.
• Отсутствие финального пересечения с ОДЗ. Даже если рациональное неравенство решено верно, конечный ответ обязательно нужно пересечь с областью допустимых значений — иначе в ответ попадут посторонние точки.
• Ошибки при делении на выражение переменного знака — например, деление обеих частей неравенства на логарифм с переменным основанием без проверки его знака.

На что обратить внимание на экзамене

Начинайте решение всегда с явной записи ОДЗ отдельным блоком — это экономит время и предотвращает появление посторонних корней. Старайтесь сразу перейти к единому числовому основанию и ввести замену переменной: это превращает громоздкое логарифмическое неравенство в привычное рациональное, которое решается методом интервалов без лишних разбиений на случаи «основание больше или меньше единицы».

Особое внимание уделите точкам, где знаменатель дробного выражения обращается в нуль, — их всегда нужно исключать из ответа, даже если формально они попадают в подходящий интервал. Также не забывайте отдельно проверять точки, где какое-то выражение под модулем равно нулю: такие точки часто входят в ответ независимо от знака остальной части неравенства.

В конце обязательно выпишите итоговое множество решений как пересечение решения рационального неравенства и ОДЗ, а границы интервалов (открытые/закрытые) сверяйте с исходным строгим или нестрогим знаком неравенства. Если остаются сомнения, подставьте контрольную точку из каждого промежутка в исходное неравенство — это лучший способ проверить правильность ответа перед тем, как записать его в бланк.