Логарифмические неравенства 1-й и 2-й степени в задании 15 ЕГЭ

О чём эта подтема

Задание 15 профильного ЕГЭ почти всегда включает неравенства, где логарифмическое выражение сводится к линейному или квадратному после того, как логарифмы «сняты». Под «первой и второй степенью» понимают итоговое алгебраическое неравенство, которое получается после потенцирования: линейное (степень 1) или квадратное/сводящееся к квадратному через разложение на множители (степень 2, а иногда и выше — кубическое, которое раскладывается на линейный и квадратный множители).

Главная сложность таких задач не в самой алгебре, а в контроле области допустимых значений (ОДЗ) и в правильном обращении со знаком неравенства при переходе от логарифмов к их аргументам. Ошибка в одном из этих двух моментов — самая частая причина потери баллов, даже если вся «арифметика» посчитана верно.

Чтобы уверенно решать такие неравенства, нужно свободно владеть свойствами логарифмов, помнить про монотонность логарифмической функции в зависимости от основания и уметь решать квадратные (и кубические через разложение) неравенства методом интервалов.

Что нужно знать

1. Определение и ОДЗ логарифма. Выражение $\log_a b$ имеет смысл при $a>0$, $a\neq 1$, $b>0$. Перед решением любого логарифмического неравенства сначала выписываются условия положительности всех аргументов логарифмов, входящих в запись.

2. Свойства логарифмов, которые чаще всего используются для сведения неравенства к одному логарифму с каждой стороны: $$\log_a x+\log_a y=\log_a(xy),\qquad \log_a x-\log_a y=\log_a\frac{x}{y}.$$ Эти преобразования допустимы только при условии, что $x>0$ и $y>0$ по отдельности (это уже часть ОДЗ).

3. Монотонность логарифмической функции. Функция $f(t)=\log_a t$:

• возрастает, если $a>1$;
• убывает, если $0<a<1$.

Отсюда правило перехода от неравенства логарифмов к неравенству аргументов: $$\log_a A \lessgtr \log_a B \;\Longleftrightarrow\; \begin{cases} A \lessgtr B, & a>1,\\ A \gtrless B, & 0<a<1.\end{cases}$$ Знак неравенства сохраняется при основании больше единицы и меняется на противоположный при основании от нуля до единицы.

4. Метод интервалов для решения многочленных неравенств — базовый инструмент после того, как логарифмы «сняты». Нужно уметь:

• раскладывать квадратный трёхчлен на множители через дискриминант или теорему Виета;
• раскладывать кубический многочлен группировкой или подбором корня (по теореме о рациональных корнях) с последующим делением уголком;
• расставлять знаки на числовой прямой, учитывая кратность корней.

5. Правило работы с системой условий. Итоговый ответ — это пересечение (а не объединение) решения преобразованного неравенства и всех условий ОДЗ. Любое из условий, отброшенное по невнимательности, может расширить или сузить ответ неверно.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения логарифмического неравенства первой или второй степени состоит из шести шагов.

Шаг 1. Выписать ОДЗ. Приравнять к положительному числу каждый аргумент логарифма, встречающийся в исходной записи (до объединения). Получится система неравенств, которую пока не решаем полностью, а держим в уме или записываем отдельно.

Шаг 2. Свести каждую часть неравенства к одному логарифму. Используя свойства суммы/разности логарифмов, объединить все слагаемые слева и справа так, чтобы неравенство приняло вид $\log_a P \lessgtr \log_a Q$ с одинаковым основанием $a$ по обе стороны.

Шаг 3. Определить знак основания относительно единицы. Если $a>1$ — знак неравенства между $P$ и $Q$ сохраняется; если $0<a<1$ — меняется на противоположный.

Шаг 4. Перейти к алгебраическому неравенству $P\lessgtr Q$ (с учётом смены знака) и упростить его: раскрыть скобки, привести подобные, перенести всё в одну часть.

Шаг 5. Решить полученное неравенство методом интервалов: если оно линейное — сразу выразить $x$; если квадратное или кубическое — разложить на множители и определить знаки на промежутках.

Шаг 6. Пересечь решение с ОДЗ. Решить систему из неравенств ОДЗ (шаг 1) и результата шага 5, взяв общую часть всех промежутков. Это и есть окончательный ответ.

Важный технический момент: при объединении логарифмов через свойство суммы или разности часть условий ОДЗ (например, положительность произведения или частного) можно не проверять отдельно, если она гарантированно следует из уже выписанных условий положительности отдельных множителей. Но лучше всегда перепроверять итоговый ответ, подставляя граничные значения.

Разбор примера

Пример 1

Решить неравенство: $$\log_{1/3}(18-9x) < \log_{1/3}(x^2-6x+5) + \log_{1/3}(x+2).$$

Шаг 1. ОДЗ. Аргументы логарифмов справа должны быть положительны: $$x^2-6x+5>0,\qquad x+2>0.$$ Условие $18-9x>0$ отдельно не выписываем — оно автоматически будет учтено при решении неравенства ниже.

Шаг 2. Объединяем логарифмы справа. По свойству суммы: $$\log_{1/3}(x^2-6x+5)+\log_{1/3}(x+2)=\log_{1/3}\big[(x^2-6x+5)(x+2)\big].$$ Неравенство принимает вид: $$\log_{1/3}(18-9x) < \log_{1/3}\big[(x^2-6x+5)(x+2)\big].$$

Шаг 3. Основание $1/3<1$ — функция убывающая, значит при переходе к аргументам знак меняется на противоположный: $$18-9x > (x^2-6x+5)(x+2).$$

Шаг 4–5. Раскрываем и решаем. $$(x^2-6x+5)(x+2)=x^3-4x^2-7x+10,$$ $$18-9x>x^3-4x^2-7x+10 \;\Longrightarrow\; x^3-4x^2+2x-8<0.$$ Разложим группировкой: $$x^2(x-4)+2(x-4)=(x^2+2)(x-4)<0.$$ Поскольку $x^2+2>0$ при любых $x$, знак всего выражения определяется множителем $(x-4)$, поэтому неравенство равносильно $x<4$.

Шаг 6. Учитываем ОДЗ.

• $x^2-6x+5>0 \Rightarrow (x-1)(x-5)>0 \Rightarrow x<1$ или $x>5$;
• $x+2>0 \Rightarrow x>-2$;
• из решения неравенства: $x<4$.

Пересекаем все условия. Ветвь $x>5$ несовместима с $x<4$ и отбрасывается. Остаётся пересечение $x<1$, $x>-2$, $x<4$, то есть: $$x\in(-2;1).$$

Это и есть ответ.

Пример 2

Решить неравенство: $$\log_3\frac{1}{x} + \log_3(x^2+3x-9) \le \log_3\left(x^2+3x+\frac{1}{x}-10\right).$$

Шаг 1. ОДЗ. $$\frac{1}{x}>0 \Rightarrow x>0,\qquad x^2+3x-9>0,\qquad x^2+3x+\frac{1}{x}-10>0.$$

Шаг 2. Объединяем логарифмы слева: $$\log_3\frac{1}{x}+\log_3(x^2+3x-9)=\log_3\left[\frac{1}{x}(x^2+3x-9)\right]=\log_3\left(x+3-\frac{9}{x}\right).$$ Неравенство принимает вид: $$\log_3\left(x+3-\frac{9}{x}\right) \le \log_3\left(x^2+3x+\frac{1}{x}-10\right).$$

Шаг 3. Основание $3>1$ — функция возрастающая, знак неравенства сохраняется: $$x+3-\frac{9}{x} \le x^2+3x+\frac{1}{x}-10.$$

Шаг 4. Приводим к одному неравенству. Переносим всё в правую часть: $$0 \le x^2+3x+\frac{1}{x}-10-x-3+\frac{9}{x} = x^2+2x-13+\frac{10}{x}.$$ Так как ОДЗ даёт $x>0$, умножаем обе части на $x$ без смены знака: $$x^3+2x^2-13x+10 \ge 0.$$

Шаг 5. Раскладываем кубический многочлен. Подбором находим корень $x=1$: $1+2-13+10=0$. Делим многочлен на $(x-1)$: $$x^3+2x^2-13x+10=(x-1)(x^2+3x-10)=(x-1)(x+5)(x-2).$$ Решаем неравенство $(x-1)(x+5)(x-2)\ge 0$ методом интервалов с корнями $-5,\,1,\,2$: $$x\in[-5;1]\cup[2;+\infty).$$

Шаг 6. Пересекаем с ОДЗ.

Условие $x>0$ оставляет от $[-5;1]$ только $(0;1]$, а $[2;+\infty)$ остаётся целиком.

Условие $x^2+3x-9>0$: корни $x=\dfrac{-3\pm3\sqrt5}{2}$, положительный корень примерно $1{,}85$. Значит требуется $x>\dfrac{-3+3\sqrt5}{2}\approx 1{,}85$ (при $x>0$).

Пересекаем $(0;1]$ с этим условием — пересечения нет, так как $1<1{,}85$. Пересекаем $[2;+\infty)$ — оно целиком лежит в области $x>1{,}85$, значит остаётся полностью.

Остаётся проверить третье условие ОДЗ $x^2+3x+\dfrac{1}{x}-10>0$ на промежутке $[2;+\infty)$. При $x=2$: $4+6+0{,}5-10=0{,}5>0$. Функция $x^2+3x+\frac1x-10$ возрастает при $x\ge2$ (производная $2x+3-1/x^2>0$ уже при $x\ge1$), значит условие выполняется на всём промежутке.

Итоговый ответ: $$x\in[2;+\infty).$$

Типичные ошибки

Забытая или неполная ОДЗ. Самая частая ошибка — не выписать условия положительности всех аргументов логарифмов или выписать их только для части выражения. Особенно легко потерять условие для аргумента, который появляется только после объединения логарифмов (как в примере 2, где третье условие ОДЗ совпадает с правой частью после переноса).

Неверный учёт знака основания. Забывают, что при основании от 0 до 1 знак неравенства при переходе к аргументам меняется. Это приводит к решению, зеркальному верному.

Умножение/деление на выражение без учёта его знака. Если при упрощении неравенства с дробями умножать обе части на $x$ или на другое выражение, не зафиксировав его знак (то есть не убедившись, что оно строго положительно или отрицательно на всей области), знак неравенства может быть определён неверно.

Потеря корней при разложении многочлена. При делении кубического многочлена на линейный множитель легко ошибиться в коэффициентах, что приводит к неверному разложению и, соответственно, к неверным промежуткам знакопостоянства.

Объединение решений вместо пересечения. Итоговый ответ — это пересечение решения алгебраического неравенства с ОДЗ, а не их объединение. Путаница здесь может как расширить ответ (добавить посторонние корни), так и сузить его.

Неаккуратная работа с квадратными неравенствами ОДЗ. Забывают решить квадратное неравенство ОДЗ до конца (например, только определяют дискриминант, но не расставляют знаки на промежутках).

На что обратить внимание на экзамене

При оформлении решения обязательно выписывайте ОДЗ отдельным блоком в самом начале — это не только снижает риск ошибки, но и демонстрирует эксперту полноту решения, что важно для получения максимального балла.

После нахождения ответа полезно подставить граничные точки промежутков в исходное неравенство (не в преобразованное) — это быстрый способ проверить, что знаки неравенств и ОДЗ учтены верно, особенно на границах, где логарифм может обращаться в ноль области определения.

Если после потенцирования получается кубическое или более сложное неравенство, всегда ищите рациональный корень среди делителей свободного члена — обычно это небольшие целые числа (как $1$ или $-1$), и после нахождения одного корня многочлен раскладывается делением уголком или группировкой.

Следите за тем, чтобы объединение логарифмов через свойства суммы и разности выполнялось только там, где это законно: сумма логарифмов равна логарифму произведения только при условии, что оба аргумента положительны — это условие уже должно быть частью вашей ОДЗ.

Наконец, распределяйте время: подобные неравенства требуют аккуратной, но не слишком длинной алгебры. Основной риск — не вычислительная сложность, а забытое условие ОДЗ или ошибка в знаке при переходе через основание меньше единицы. Проверяйте эти два момента в первую очередь при самопроверке.