Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Логарифмические неравенства первой и второй степени

Логарифмируем при основании $1/3$, которое меньше единицы — значит, функция $\log_{1/3}t$ убывающая, и при сравнении логарифмов знак неравенства при переходе к аргументам меняется на противоположный.

Сначала объединим логарифмы справа по свойству суммы: $\log_{1/3}(x^2-6x+5)+\log_{1/3}(x+2)=\log_{1/3}\big[(x^2-6x+5)(x+2)\big]$.

Теперь неравенство имеет вид $\log_{1/3}(18-9x)<\log_{1/3}\big[(x^2-6x+5)(x+2)\big]$.

Нужно учесть ОДЗ (аргументы логарифмов положительны): $x^2-6x+5>0$ и $x+2>0$. Условие $18-9x>0$ не пишем отдельно, так как оно автоматически следует из решаемого неравенства при данном ОДЗ.

Поскольку основание меньше единицы, из $\log_{1/3}A<\log_{1/3}B$ следует $A>B$ (знак переворачивается). Получаем систему: $$\begin{cases} x^2-6x+5>0,\\ x+2>0,\\ 18-9x>(x^2-6x+5)(x+2). \end{cases}$$

Раскрываем скобки в третьем условии: $(x^2-6x+5)(x+2)=x^3-4x^2-7x+10$, тогда неравенство $18-9x>x^3-4x^2-7x+10$ приводится к $x^3-4x^2+2x-8<0$.

Разложим кубический многочлен группировкой: $x^2(x-4)+2(x-4)=(x^2+2)(x-4)<0$. Так как $x^2+2>0$ всегда, знак выражения зависит только от $(x-4)$, значит неравенство равносильно $x<4$.

Первое условие системы: $x^2-6x+5>0 \Rightarrow (x-1)(x-5)>0 \Rightarrow x<1$ или $x>5$.

Второе условие: $x>-2$.

Объединяя все три условия ($x<4$, $x<1$ или $x>5$, $x>-2$): вариант $x>5$ несовместим с $x<4$, поэтому остаётся только пересечение $x<1$, $x>-2$, $x<4$ — это $-2<x<1$.

Итоговое решение: $x\in(-2;1)$.