Задание 15 ЕГЭ: логарифмы и иррациональности в неравенствах

О чём эта подтема

Задание 15 профильного ЕГЭ часто объединяет в одном неравенстве логарифм и корень — либо корень стоит под логарифмом, либо логарифм стоит под корнем, либо основание логарифма само является переменным выражением с корнем. Такие неравенства проверяют три вещи одновременно: умение находить область допустимых значений (ОДЗ), умение работать со свойствами логарифма при переменном основании и аккуратность при возведении в квадрат (когда есть иррациональность).

Сложность не в отдельных приёмах — каждый из них знаком по более простым заданиям. Сложность в том, что приёмы нужно применять последовательно и не терять ограничения, возникающие на каждом шаге. Именно потеря условий (забыли исключить точку, забыли проверить знак перед возведением в квадрат) — причина большинства ошибок.

Что нужно знать

1. ОДЗ логарифма. Для $\log_b(N)$ нужно: $N>0$, $b>0$, $b\neq1$. Если основание или подлогарифменное выражение содержит корень или переменную — все эти условия надо прописать и решить как отдельные неравенства/уравнения.

2. ОДЗ корня. Подкоренное выражение неотрицательно: для $\sqrt{f(x)}$ нужно $f(x)\ge0$. Если корень стоит в знаменателе — дополнительно $f(x)\ne0$ там, где это создаёт деление на ноль.

3. Знак логарифма при переменном основании. $$\log_b N>0 \iff \begin{cases} b>1,\ N>1 \\ \text{или} \\ 0<b<1,\ 0<N<1\end{cases}$$ Аналогично для $\log_b N<0$ знаки $N$ и $(b-1)$ противоположны. Это ключевой факт, если основание логарифма — переменное выражение (например, содержит корень).

4. Метод рационализации (замена множителей). Разность логарифмов с одинаковым основанием и знак выражения $\log_b N$ можно заменить на знак произведения $(b-1)(N-1)$ при том же ОДЗ — это часто ускоряет решение, но требует аккуратности с равносильностью.

5. Правила работы с иррациональными неравенствами.

• $\sqrt{f(x)}<g(x) \iff \begin{cases} f(x)\ge0\\ g(x)>0\\ f(x)<g^2(x)\end{cases}$
• $\sqrt{f(x)}>g(x) \iff \begin{cases} f(x)\ge0\\ g(x)<0\end{cases}$ или $\begin{cases} g(x)\ge0\\ f(x)>g^2(x)\end{cases}$

Возводить в квадрат обе части можно только тогда, когда обе они неотрицательны (или известен знак каждой), иначе теряется равносильность.

6. Замена переменной. Если логарифм встречается многократно (например, $\log_8 x$ и $\log_8^2 x$), удобно ввести $t=\log_a x$ — это превращает неравенство с логарифмами в неравенство относительно $t$, часто с корнем, которое решается стандартными приёмами.

Как решать: метод и алгоритм

1. Выписать ОДЗ полностью. Все подкоренные выражения $\ge0$, все подлогарифменные $>0$, все основания $>0$ и $\ne1$. Решить каждое условие отдельно, затем пересечь.
2. Упростить структуру. Если есть повторяющийся логарифм — сделать замену $t=\log_a x$ (или аналогично). Если логарифм с переменным основанием — сразу зафиксировать в голове правило знака (пункт 3 выше).
3. Разбить на случаи по знаку. Если при умножении/делении на выражение, чей знак неизвестен (например, на $t$ или на $(b-1)$), нужно рассмотреть оба варианта знака отдельно, меняя направление неравенства при умножении на отрицательное число.
4. В каждом случае решить получившееся неравенство — часто это либо линейное/квадратное неравенство относительно новой переменной, либо иррациональное неравенство (используем правила из пункта 6 «Что нужно знать»).
5. Учесть ОДЗ в каждом случае и получить частные решения.
6. Вернуться к исходной переменной — если была замена, подставить обратно (например, из $\log_8 x\in(a,b)$ получить $x\in(8^a,8^b)$, учитывая монотонность показательной функции).
7. Объединить все случаи и пересечь с общим ОДЗ. Финальный ответ — объединение промежутков.

Разбор примера

Пример 1. Решите неравенство: $$\frac{1-\sqrt{1-4\log_8^2 x}}{\log_8 x}<2.$$

Шаг 1. Замена. Пусть $t=\log_8 x$. Тогда неравенство принимает вид $$\frac{1-\sqrt{1-4t^2}}{t}<2.$$

Шаг 2. ОДЗ по $t$. Нужно $1-4t^2\ge0$, то есть $t\in\left[-\dfrac12;\dfrac12\right]$, и $t\neq0$ (знаменатель).

Шаг 3. Случай $t>0$. Умножаем на $t>0$, знак сохраняется: $$1-\sqrt{1-4t^2}<2t \iff 1-2t<\sqrt{1-4t^2}.$$ При $0<t<\dfrac12$ левая часть $1-2t>0$, значит обе части положительны и можно возводить в квадрат: $$(1-2t)^2<1-4t^2 \iff 1-4t+4t^2<1-4t^2 \iff 8t^2-4t<0 \iff 4t(2t-1)<0 \iff 0<t<\dfrac12.$$ Это совпадает с рассматриваемым промежутком, значит весь интервал $\left(0;\dfrac12\right)$ подходит (значение $t=\dfrac12$ проверяется отдельно: там $\sqrt{1-4t^2}=0$, а $1-2t=0$, неравенство $0<0$ неверно — не входит).

Шаг 4. Случай $t<0$. Умножаем на $t<0$ — знак неравенства меняется: $$1-\sqrt{1-4t^2}>2t.$$ Правая часть отрицательна ($2t<0$), а левая часть всегда $\ge0$, так как $\sqrt{1-4t^2}\le1$. Значит неравенство $\text{(неотрицательное число)}>\text{(отрицательное число)}$ выполняется автоматически для всех допустимых $t<0$, то есть для всего промежутка $t\in\left[-\dfrac12;0\right)$.

Шаг 5. Объединение по $t$: $$t\in\left[-\dfrac12;0\right)\cup\left(0;\dfrac12\right).$$

Шаг 6. Возврат к $x$. Так как $t=\log_8 x$ и функция $8^t$ возрастает:

• $t\in\left[-\dfrac12;0\right) \Rightarrow x\in\left[8^{-1/2};1\right)=\left[\dfrac{\sqrt2}{4};1\right)$;
• $t\in\left(0;\dfrac12\right) \Rightarrow x\in\left(1;8^{1/2}\right)=(1;\sqrt8)$.

Ответ: $\left[\dfrac{\sqrt2}{4};1\right)\cup(1;\sqrt8)$.

Пример 2. Решите неравенство: $$\log_{\sqrt{2x^2-7x+6}}\left(\frac{x}{3}\right)>0.$$

Шаг 1. ОДЗ. Подлогарифменное выражение: $\dfrac{x}{3}>0 \Rightarrow x>0$. Основание: $\sqrt{2x^2-7x+6}>0$, то есть $2x^2-7x+6>0$. Разложим: $2x^2-7x+6=(2x-3)(x-2)$, корни $x=\dfrac32$ и $x=2$, парабола положительна вне корней: $x<\dfrac32$ или $x>2$. Ещё основание $\neq1$: $2x^2-7x+6\neq1 \iff 2x^2-7x+5\neq0$, корни этого уравнения $x=1$ и $x=\dfrac52$ — их нужно исключить.

Объединяя: ОДЗ — $x\in(0;1)\cup\left(1;\dfrac32\right)\cup\left(2;\dfrac52\right)\cup\left(\dfrac52;+\infty\right)$.

Шаг 2. Используем правило знака логарифма. Обозначим $b=\sqrt{2x^2-7x+6}$, $N=\dfrac{x}{3}$. Неравенство $\log_b N>0$ равносильно объединению двух систем:

Случай A: $b>1$ и $N>1$. $b>1 \iff 2x^2-7x+6>1 \iff 2x^2-7x+5>0$. Корни те же ($1$ и $\dfrac52$), парабола положительна вне корней: $x<1$ или $x>\dfrac52$. $N>1 \iff x>3$. Пересечение: $x>3$ (так как $x>3$ автоматически даёт $x>\dfrac52$).

Случай B: $0<b<1$ и $0<N<1$. $b<1 \iff 2x^2-7x+5<0 \iff 1<x<\dfrac52$ (между корнями, парабола отрицательна). $b>0$ — уже выполнено из ОДЗ: $x<\dfrac32$ или $x>2$. Пересечение с $1<x<\dfrac52$: получаем $1<x<\dfrac32$ или $2<x<\dfrac52$. $N<1 \iff x<3$ — выполнено автоматически.

Случай B даёт: $x\in\left(1;\dfrac32\right)\cup\left(2;\dfrac52\right)$.

Шаг 3. Объединяем случаи A и B: $$x\in\left(1;\frac32\right)\cup\left(2;\frac52\right)\cup(3;+\infty).$$

Ответ: $\left(1;\dfrac32\right)\cup\left(2;\dfrac52\right)\cup(3;+\infty)$.

Типичные ошибки

• Забывают условие $b\neq1$ для основания логарифма. Особенно легко потерять эту точку, если основание — сложное выражение с корнем: нужно решить отдельное уравнение и исключить его корни из ответа.
• Возводят в квадрат без проверки знаков. Если не убедиться, что обе части неравенства с корнем неотрицательны (или явно не рассмотреть случай, когда одна из частей отрицательна), можно получить лишние или потерянные решения.
• Умножают неравенство на выражение переменного знака, не разбивая на случаи. Например, умножение на $\log_a x$ или на $(b-1)$ без учёта его знака — это одна из самых частых причин неверного ответа в этой подтеме.
• Не проверяют границы отдельно. Часто именно в граничных точках (где выражение под корнем равно нулю, где $t$ равно краевому значению) нужно вручную подставить и проверить, входит точка в ответ или нет.
• Забывают пересечь финальный ответ с ОДЗ. Решив неравенство относительно новой переменной или в каждом случае, легко забыть, что все промежутки нужно ещё раз сверить с исходным ОДЗ по $x$.
• Ошибки при обратной замене переменной. Если введена замена $t=\log_a x$, важно помнить про монотонность: при основании $a>1$ направление неравенств сохраняется, при $0<a<1$ — меняется на противоположное.

На что обратить внимание на экзамене

Перед тем как приступать к алгебраическим преобразованиям, потратьте время на полное и аккуратное ОДЗ — это отдельный этап, который стоит выполнить письменно, а не «в уме». В заданиях с переменным основанием логарифма всегда проверяйте — нет ли смысла применить правило знака $\log_b N>0 \iff (b-1)(N-1)>0$ при соответствующем ОДЗ: это часто короче, чем разбор двух систем отдельно, но требует чёткого понимания равносильности.

При работе с корнями держите в голове: возведение в квадрат — не тождественное преобразование, а операция, которая может как расширить, так и сузить множество решений, если не контролировать знаки. Каждый раз явно проверяйте, при каком условии обе стороны неравенства имеют смысл для сравнения по квадрату.

После получения финального ответа сверьте хотя бы одну точку из каждого промежутка с исходным неравенством — это быстрый способ поймать арифметическую или логическую ошибку до того, как сдать работу. Также убедитесь, что граничные точки (открытые/закрытые скобки) выбраны верно — часто именно на них теряются баллы даже при правильном общем ходе решения.