Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

1. Область определения: $x\neq-3,\ x\neq-5$ (знаменатели не равны нулю).

2. Разложим числители дробей так, чтобы выделить целую часть: $x^2+2x-4=(x+3)(x-1)-1$, значит $\dfrac{x^2+2x-4}{x+3}=(x-1)-\dfrac{1}{x+3}$.

$x^2+5x+3=x(x+5)+3$, значит $\dfrac{x^2+5x+3}{x+5}=x+\dfrac{3}{x+5}$.

Почему так: делим "с остатком", чтобы часть слагаемых сократилась с правой частью неравенства.

3. Подставляем в неравенство: $(x-1)-\dfrac{1}{x+3}+x+\dfrac{3}{x+5}\le 2x-1$

$2x-1-\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{3}{x+5}\le 2x-1$.

Вычитаем $2x-1$ из обеих частей (это законно, не меняет знак неравенства): $-\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{3}{x+5}\le 0$.

4. Приводим к общему знаменателю $(x+3)(x+5)$: $\dfrac{-(x+5)+3(x+3)}{(x+3)(x+5)}\le 0 \;\Rightarrow\; \dfrac{2x+4}{(x+3)(x+5)}\le 0$.

Сокращаем на положительный множитель 2: $\dfrac{x+2}{(x+3)(x+5)}\le 0$.

5. Решаем методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=-5,\ x=-3,\ x=-2$ — они разбивают числовую прямую на промежутки. Определяем знак дроби на каждом:

• при $x<-5$: все три множителя отрицательны → дробь отрицательна → условие выполняется;
• при $-5<x<-3$: числитель отрицателен, знаменатель положителен (одна отрицательная, одна положительная скобка меняют знак произведения) → дробь положительна → не подходит;
• при $-3<x<-2$: числитель отрицателен, знаменатель положителен → дробь отрицательна → подходит;
• при $x>-2$: дробь положительна → не подходит.

Точка $x=-2$ даёт числитель $0$, значение дроби равно $0$, неравенство $\le0$ выполняется, поэтому точка включается. Точки $x=-5,\ x=-3$ исключаются, так как в них знаменатель обращается в ноль (вне области определения).

6. Объединяя промежутки, получаем ответ.