Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

Область определения. Знаменатели $(x+2)^2$ и $(x-3)^2$ не должны быть равны нулю, поэтому $x\neq -2$ и $x\neq 3$.

Замена переменных. Заметим, что $x^2-2x+1=(x-1)^2$ и $x^2+2x+1=(x+1)^2$. Введём $$a=\frac{x-1}{x+2},\qquad b=\frac{x+1}{x-3}.$$ Тогда левая часть неравенства равна $a^2+b^2$.

Правая часть через a и b. Посчитаем сумму: $$a+b=\frac{(x-1)(x-3)+(x+1)(x+2)}{(x+2)(x-3)}=\frac{2x^2-x+5}{(x+2)(x-3)}.$$ Значит числитель правой части — это $(a+b)^2\cdot[(x+2)(x-3)]^2$, а знаменатель — $2(x+2)^2(x-3)^2$. После сокращения правая часть равна $\dfrac{(a+b)^2}{2}$.

Приводим неравенство к простому виду. Получаем $$a^2+b^2\le \frac{(a+b)^2}{2}.$$ Умножив на 2 и раскрыв квадрат суммы: $$2a^2+2b^2\le a^2+2ab+b^2 \;\Rightarrow\; a^2-2ab+b^2\le 0 \;\Rightarrow\; (a-b)^2\le 0.$$ Квадрат числа не может быть отрицательным, поэтому неравенство выполняется только при $(a-b)^2=0$, то есть при $a=b$.

Решаем равенство a=b. $$\frac{x-1}{x+2}=\frac{x+1}{x-3}.$$ Перемножаем крест-накрест (с учётом ОДЗ, знаменатели не равны нулю): $$(x-1)(x-3)=(x+1)(x+2)$$ $$x^2-4x+3=x^2+3x+2$$ $$-4x+3=3x+2 \;\Rightarrow\; 1=7x \;\Rightarrow\; x=\frac{1}{7}.$$

Это значение не совпадает с исключёнными точками $x=-2$ и $x=3$, значит оно входит в область допустимых значений и является единственным решением.