Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

Область определения: $x\neq1,\;x\neq2,\;x\neq3$ (эти значения обращают знаменатели в 0).

Приводим все дроби к общему знаменателю $(x-1)(x-2)(x-3)$: $$\frac{(x-2)(x-3)+2(x-1)(x-3)-6(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)(x-3)}\ge0.$$

Раскрываем скобки в числителе: $(x-2)(x-3)=x^2-5x+6$, $2(x-1)(x-3)=2x^2-8x+6$, $6(x-1)(x-2)=6x^2-18x+12$. Складываем первые два и вычитаем третье: $$x^2-5x+6+2x^2-8x+6-6x^2+18x-12=-3x^2+5x.$$

Получаем неравенство $$\frac{-3x^2+5x}{(x-1)(x-2)(x-3)}\ge0.$$ Умножая обе части на $-1$ (при этом знак неравенства меняется на противоположный), приходим к равносильному $$\frac{3x^2-5x}{(x-1)(x-2)(x-3)}\le0,\qquad\text{т.е.}\qquad \frac{x(3x-5)}{(x-1)(x-2)(x-3)}\le0.$$

Отмечаем на числовой прямой нули числителя ($x=0,\;x=\dfrac53$) и точки разрыва ($x=1,2,3$) — всего пять точек: $0,\,1,\,\dfrac53,\,2,\,3$. Это границы промежутков, где выражение сохраняет постоянный знак (метод интервалов).

Определяем знак функции $f(x)=\dfrac{x(3x-5)}{(x-1)(x-2)(x-3)}$ на каждом промежутке (например, подставляя пробные точки) и выбираем те, где $f(x)\le0$. Нули числителя ($x=0,\;5/3$) включаем в ответ (неравенство нестрогое и они не входят в область запретов), а точки $1,2,3$ исключаем, так как там функция не определена.

В результате получаем объединение промежутков: $$x\le0,\quad 1<x\le\frac53,\quad 2<x<3.$$