Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства
Решите неравенство: 
Разбор
Главная идея: Свернуть трёхчлен в полный квадрат и учесть, что квадрат неотрицателен, поэтому знак произведения определяется линейным множителем, кроме точки, где квадрат равен нулю — она входит в решение отдельно.
Замечаем, что квадратный трёхчлен в скобках — полный квадрат: , так как и .
Неравенство принимает вид: .
Множитель всегда неотрицателен (квадрат любого числа ). Поэтому знак всего произведения зависит от знака второго множителя , кроме особого случая, когда сам квадрат равен нулю.
Рассмотрим два случая:
- Если , то есть , всё произведение равно , что удовлетворяет неравенству — эта точка входит в решение независимо от знака .
- Если (то есть ), то знак произведения совпадает со знаком . Чтобы произведение было , нужно , то есть .
Объединяя оба случая, получаем решение: все (из второго случая) плюс отдельная точка (из первого случая), которая не попадает в промежуток .
Итоговое решение неравенства — объединение луча и отдельной точки: .
Типичные ошибки
- Не замечают, что трёхчлен — полный квадрат, и решают неравенство методом интервалов без учёта кратности корня.
- Забывают включить отдельную точку , где квадратный множитель обращается в нуль, хотя она не входит в основной промежуток.
- Ошибочно считают, что раз множитель в квадрате, то его можно просто отбросить, теряя корень как решение.
Непонятно?