Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

1. ОДЗ. Знаменатели не равны нулю: $x\neq7$ и $x^2-16x+63=(x-7)(x-9)\neq0$, то есть $x\neq7,\;x\neq9$.

2. Разложим второй знаменатель. $x^2-16x+63=(x-7)(x-9)$.

3. Упростим вторую дробь. Заметим, что числитель второй дроби отличается от знаменателя на $31x-195$ (это разность $x^2+15x-132-(x^2-16x+63)=31x-195$). Значит $$\frac{x^2+15x-132}{(x-7)(x-9)}=1+\frac{31x-195}{(x-7)(x-9)}.$$

4. Подставим и перенесём единицу. Неравенство $x+\dfrac{8x-45}{x-7}+1+\dfrac{31x-195}{(x-7)(x-9)}\leqslant1$ равносильно $$x+\frac{8x-45}{x-7}+\frac{31x-195}{(x-7)(x-9)}\leqslant0.$$

5. Общий знаменатель $(x-7)(x-9)$. Числитель дробей: $x(x-7)(x-9)+(8x-45)(x-9)+(31x-195)$.

6. Свернём слагаемые. $(8x-45)(x-9)+(31x-195)=8x^2-86x+210=(x-7)(8x-30)$ (проверяется раскрытием скобок).

7. Вынесем общий множитель $(x-7)$. Числитель равен $(x-7)[x(x-9)+8x-30]=(x-7)(x^2-x-30)=(x-7)(x-6)(x+5)$, так как $x^2-x-30=(x-6)(x+5)$.

8. Получили неравенство $$\frac{(x-7)(x-6)(x+5)}{(x-7)(x-9)}\leqslant0,\qquad x\neq7.$$ Сокращаем на $(x-7)$, помня, что точку $x=7$ нужно потом исключить отдельно: $$\frac{(x-6)(x+5)}{x-9}\leqslant0,\quad x\neq7.$$

9. Метод интервалов. Нули числителя: $x=-5,\;x=6$ (включаются, знак $\leqslant$). Ноль знаменателя $x=9$ — выкалываем. Расставляя знаки, получаем, что выражение $\leqslant0$ при $x\in(-\infty;-5]\cup[6;9)$.

10. Учитываем исключённую точку $x=7$. Из полученного множества убираем $x=7$.

Итог: $x\in(-\infty;-5]\cup[6;7)\cup(7;9)$.