Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

ОДЗ: знаменатель не равен нулю, значит $x\neq5$.

Перенесём 4 влево и приведём всё к общему знаменателю $x-5$: $$x^3+3x^2-4+\frac{12x^2+4x-20}{x-5}\le0\ \Longleftrightarrow\ \frac{(x^3+3x^2-4)(x-5)+12x^2+4x-20}{x-5}\le0.$$

Раскроем скобки в числителе: $(x^3+3x^2-4)(x-5)=x^4-2x^3-15x^2-4x+20$. Добавим $12x^2+4x-20$ и приведём подобные — получаем $x^4-2x^3-3x^2$.

Разложим числитель на множители: вынесем $x^2$, оставшийся квадратный трёхчлен $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$. Итог: $$\frac{x^2(x+1)(x-3)}{x-5}\le0.$$

Множитель $x^2\ge0$ всегда, поэтому при $x=0$ дробь равна нулю (входит в решение, так как $x=0\neq5$). При $x\neq0$ знак дроби совпадает со знаком $\dfrac{(x+1)(x-3)}{x-5}$, значит решаем это неравенство отдельно.

Метод интервалов для $\dfrac{(x+1)(x-3)}{x-5}\le0$ с корнями $-1,3,5$: знаки чередуются справа налево, начиная с «+» при $x>5$: получаем $(-\infty;-1]\cup[3;5)$ (точка $x=5$ исключена, так как там знаменатель равен нулю).

Объединяя это множество с найденной точкой $x=0$, получаем окончательный ответ.