Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

1. Область определения: знаменатели не равны нулю. $2x^2+5x+2=(2x+1)(x+2)$, значит нужно $x\neq0,\; x\neq-2,\; x\neq-\dfrac12$.

2. Перенесём всё в одну часть и умножим неравенство на $-1$ (знак меняется на противоположный), чтобы избавиться от единицы: $$\frac{x+2}{x}+\frac{2x^2-19x-10}{2x^2+5x+2}\leqslant0.$$

3. Разложим квадратные трёхчлены на множители: $2x^2+5x+2=(2x+1)(x+2)$, а $2x^2-19x-10=(2x+1)(x-10)$ (проверяется раскрытием скобок).

4. Приводим к общему знаменателю $x(x+2)(2x+1)$: числитель равен $(2x+1)\big[(x+2)^2+x(x-10)\big]$. Раскрыв скобки, получаем $(x+2)^2+x(x-10)=2x^2-6x+4=2(x-1)(x-2)$. Значит неравенство принимает вид $$\frac{(2x+1)\cdot 2(x-1)(x-2)}{x(x+2)(2x+1)}\leqslant0.$$

5. Так как $x\neq-\dfrac12$ уже исключено из области определения, множитель $(2x+1)$ можно сократить, и на всей области определения неравенство равносильно $$\frac{2(x-1)(x-2)}{x(x+2)}\leqslant0.$$

6. Решаем методом интервалов: нули числителя $x=1,\;x=2$ (включаются, так как неравенство нестрогое и там нет ограничений области определения), нули знаменателя $x=0,\;x=-2$ (исключаются). Расставив знаки на промежутках $(-\infty;-2),(-2;0),(0;1),(1;2),(2;+\infty)$, получаем, что дробь $\leqslant0$ на $(-2;0)\cup[1;2]$.

7. Из этого множества дополнительно убираем точку $x=-\dfrac12$, так как она не входит в область определения исходного неравенства.

Итог: $x\in(-2;-0{,}5)\cup(-0{,}5;0)\cup[1;2]$.