Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

1. ОДЗ: $5x-21\neq0$, то есть $x\neq \dfrac{21}{5}$.

2. Вводим замену $t=\dfrac{5x-21}{10}$ (значит $t\neq0$). Тогда $\dfrac{10}{5x-21}=\dfrac1t$, и неравенство принимает вид $$\left(t+\frac1t\right)^2\le\frac{25}{4}.$$

3. Извлекаем корень (учитывая, что квадрат неотрицателен): это равносильно двойному неравенству $$-\frac52\le t+\frac1t\le\frac52.$$

4. Приводим к общему знаменателю: $t+\dfrac1t=\dfrac{t^2+1}{t}$. Получаем систему двух рациональных неравенств: $$\frac{2t^2+5t+2}{t}\ge0,\qquad \frac{2t^2-5t+2}{t}\le0.$$

5. Разлагаем квадратные трёхчлены: $2t^2+5t+2=(2t+1)(t+2)$, $2t^2-5t+2=(2t-1)(t-2)$. Методом интервалов (с учётом знака знаменателя $t$) находим решение каждой системы и их пересечение: $$t\in[-2;-\tfrac12]\cup[\tfrac12;2].$$

6. Возвращаемся к исходной переменной: подставляем $t=\dfrac{5x-21}{10}$.

Для $t\in[\tfrac12;2]$: $\tfrac12\le\dfrac{5x-21}{10}\le2 \Rightarrow 5\le5x-21\le20 \Rightarrow 26\le5x\le41 \Rightarrow \dfrac{26}{5}\le x\le\dfrac{41}{5}$.

Для $t\in[-2;-\tfrac12]$: $-2\le\dfrac{5x-21}{10}\le-\tfrac12 \Rightarrow -20\le5x-21\le-5 \Rightarrow 1\le5x\le16 \Rightarrow \dfrac15\le x\le\dfrac{16}{5}$.

7. Оба промежутка не содержат точку $x=\dfrac{21}{5}$, значит ОДЗ не нарушается. Итог: $x\in\left[\dfrac15;\dfrac{16}{5}\right]\cup\left[\dfrac{26}{5};\dfrac{41}{5}\right]$.