Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

Замена переменной. Введём $z = x\sqrt{3}$. Тогда неравенство $$\frac{6}{x\sqrt3-3}+\frac{x\sqrt3-6}{x\sqrt3-9}\ge 2$$ превращается в $$\frac{6}{z-3}+\frac{z-6}{z-9}\ge 2.$$

Приведение к общему знаменателю. ОДЗ: $z\ne3,\ z\ne9$. Переносим 2 влево и приводим к общему знаменателю $(z-3)(z-9)$: $$\frac{6(z-9)+(z-6)(z-3)-2(z-3)(z-9)}{(z-3)(z-9)}\ge0.$$ Раскрываем скобки в числителе: $6z-54+z^2-9z+18-2z^2+24z-54=-z^2+21z-90$. Умножая на $-1$ (и меняя знак неравенства на противоположный), получаем $$\frac{z^2-21z+90}{(z-3)(z-9)}\le0.$$

Разложение квадратного трёхчлена. По теореме Виета корни уравнения $z^2-21z+90=0$ равны $6$ и $15$ (сумма $21$, произведение $90$). Значит $z^2-21z+90=(z-6)(z-15)$, и неравенство принимает вид $$\frac{(z-6)(z-15)}{(z-3)(z-9)}\le0.$$

Метод интервалов. Отмечаем на числовой прямой точки $3,6,9,15$: точки $3$ и $9$ выколотые (знаменатель), точки $6$ и $15$ закрашенные (числитель, неравенство нестрогое). Расставляя знаки функции на промежутках (проверкой в контрольных точках), получаем, что выражение отрицательно или равно нулю на $$3<z\le6\quad\text{или}\quad 9<z\le15.$$

Возврат к исходной переменной. Подставляем $z=x\sqrt3$ и делим все части на $\sqrt3$: $$3<x\sqrt3\le6 \;\Rightarrow\; \sqrt3<x\le\frac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3,$$ $$9<x\sqrt3\le15 \;\Rightarrow\; 3\sqrt3<x\le\frac{15}{\sqrt3}=5\sqrt3.$$

Итог. Объединяя оба промежутка, получаем ответ $x\in(\sqrt3;2\sqrt3]\cup(3\sqrt3;5\sqrt3]$.