Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

Дано неравенство $x^2+(2-\sqrt{15})x-2\sqrt{15}\le 0$.

Шаг 1. Ищем корни соответствующего квадратного уравнения. По теореме Виета для уравнения $x^2+px+q=0$ сумма корней равна $-p$, а произведение равно $q$. Здесь $p=2-\sqrt{15}$, $q=-2\sqrt{15}$. Значит сумма корней должна быть $-(2-\sqrt{15})=-2+\sqrt{15}$, а произведение $-2\sqrt{15}$.

Шаг 2. Подбираем числа. Заметим, что числа $-2$ и $\sqrt{15}$ подходят: их сумма $-2+\sqrt{15}$, а произведение $-2\cdot\sqrt{15}=-2\sqrt{15}$ — совпадает с нужными значениями. Значит это и есть корни уравнения.

Шаг 3. Раскладываем квадратный трёхчлен на множители. По теореме, обратной теореме Виета, квадратный трёхчлен с корнями $x_1$ и $x_2$ можно записать как $(x-x_1)(x-x_2)$. Получаем: $$x^2+(2-\sqrt{15})x-2\sqrt{15}=(x+2)(x-\sqrt{15}).$$

Шаг 4. Решаем неравенство $(x+2)(x-\sqrt{15})\le 0$. Это парабола с ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, положителен), значит выражение отрицательно или равно нулю между корнями. Так как $-2<\sqrt{15}$ (потому что $\sqrt{15}\approx 3{,}87$), решением служит отрезок между корнями: $$-2\le x\le \sqrt{15}.$$

Ответ: $x\in[-2;\sqrt{15}]$.