Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

Заметим, что в обоих слагаемых встречается выражение $x^2-5x$. Введём замену $y=x^2-5x$. Тогда неравенство принимает вид $$\frac{y-3}{y+3}+\frac{y+24}{y}\le 0.$$

Приводим к общему знаменателю $y(y+3)$: $$\frac{y(y-3)+(y+3)(y+24)}{y(y+3)}=\frac{2y^2+24y+72}{y(y+3)}=\frac{2(y+6)^2}{y(y+3)}\le0.$$

Числитель $2(y+6)^2\ge0$ всегда, поэтому дробь $\le0$ возможна в двух случаях: либо знаменатель отрицателен (тогда неравенство выполняется при любом числителе, кроме случая равенства нулю самого выражения, что не мешает), либо числитель равен нулю (тогда всё выражение равно 0, что удовлетворяет $\le0$ при любом знаменателе, кроме $y=0$ и $y=-3$, где дробь не определена).

Знаменатель $y(y+3)<0$ при $-3<y<0$. Числитель равен нулю при $y=-6$ — это значение входит в область определения (не совпадает с $0$ и $-3$), поэтому подходит отдельно.

Итак, $-3<y<0$ или $y=-6$.

Возвращаемся к переменной $x$: $y=x^2-5x$.

1. Для $-3<x^2-5x<0$ решаем систему: $$x^2-5x+3>0,\qquad x^2-5x<0.$$ Корни $x^2-5x+3=0$: $x=\dfrac{5\pm\sqrt{13}}{2}$, значит первое неравенство даёт $x<\dfrac{5-\sqrt{13}}2$ или $x>\dfrac{5+\sqrt{13}}2$. Второе неравенство $x(x-5)<0$ даёт $0<x<5$. Пересекая, получаем $0<x<\dfrac{5-\sqrt{13}}2$ и $\dfrac{5+\sqrt{13}}2<x<5$.

2. Для $y=-6$: $x^2-5x+6=0\Rightarrow (x-2)(x-3)=0\Rightarrow x=2$ или $x=3$.

Объединяя все найденные промежутки и точки, получаем ответ.