Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

Шаг 1. Упрощаем первое слагаемое. Замечаем, что $3x^3-18x^2+27x=3x(x^2-6x+9)=3x(x-3)^2$. Тогда $$\frac{3x(x-3)^2}{x-3}=3x(x-3),\quad x\ne 3.$$ Это позволяет избавиться от одной дробной части — деление здесь сокращается, так как $(x-3)^2$ делится на $(x-3)$.

Шаг 2. Приводим всё к одному знаменателю $(2x+3)$. Перепишем неравенство: $$3x(x-3)-\frac{6x^3-11x^2-44x-30}{2x+3}\le 11.$$ Переносим 11 влево и приводим к общему знаменателю $2x+3$: $$\frac{(3x^2-9x)(2x+3)-(6x^3-11x^2-44x-30)-11(2x+3)}{2x+3}\le 0.$$

Шаг 3. Раскрываем скобки и приводим подобные. $$(3x^2-9x)(2x+3)=6x^3-9x^2-27x.$$ Вычитаем второй многочлен и $11(2x+3)$: $$6x^3-9x^2-27x-6x^3+11x^2+44x+30-22x-33=2x^2-5x-3.$$ Получаем $$\frac{2x^2-5x-3}{2x+3}\le 0.$$

Шаг 4. Разлагаем числитель на множители. $2x^2-5x-3=(2x+1)(x-3)$ (проверка: $2x\cdot x=2x^2$, $2x\cdot(-3)+1\cdot x=-5x$, $1\cdot(-3)=-3$). Значит, $$\frac{(2x+1)(x-3)}{2x+3}\le 0,\qquad x\ne 3.$$

Шаг 5. Метод интервалов. Нули числителя: $x=-\dfrac12$, $x=3$; ноль знаменателя (недопустимая точка): $x=-\dfrac32$. Расставляя знаки на интервалах $(-\infty;-1{,}5)$, $(-1{,}5;-0{,}5)$, $(-0{,}5;3)$, $(3;+\infty)$, получаем, что выражение $\le 0$ на $(-\infty;-1{,}5)$ и на $[-0{,}5;3)$ (включая $-0{,}5$, где числитель равен нулю, и исключая $3$, так как там исходная функция не определена).

Ответ: $(-\infty; -1{,}5)\cup[-0{,}5;3)$.