Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

Запишем неравенство в виде $\dfrac{x}{x^{2}+3}\le\dfrac{1}{4x}$ (правая часть — это $\frac14x^{-1}$).

Шаг 1. Переносим всё влево. $$\dfrac{x}{x^{2}+3}-\dfrac{1}{4x}\le0.$$ Приводим к общему знаменателю $4x(x^{2}+3)$: $$\dfrac{4x^{2}-(x^{2}+3)}{4x(x^{2}+3)}\le0\;\Longleftrightarrow\;\dfrac{3x^{2}-3}{4x(x^{2}+3)}\le0.$$ Почему так: чтобы сравнить дроби с нулём, их нужно объединить в одну, а не решать порознь — иначе легко потерять область определения.

Шаг 2. Раскладываем числитель на множители. $3x^{2}-3=3(x-1)(x+1)$, поэтому неравенство равносильно $$\dfrac{(x-1)(x+1)}{x(x^{2}+3)}\le0.$$ (множитель 3 положительный, его можно отбросить)

Шаг 3. Упрощаем знаменатель. Выражение $x^{2}+3$ при любом $x$ строго больше нуля, значит знак дроби от него не зависит — его можно убрать, не меняя знак неравенства: $$\dfrac{(x-1)(x+1)}{x}\le0.$$ При этом важно помнить, что $x\ne0$ — это исходное ограничение (деление на $x$).

Шаг 4. Метод интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x=-1,\;x=0,\;x=1$. Отмечаем их на числовой прямой (точку $0$ — выколотой, так как деление на неё запрещено). Определяем знак выражения на каждом промежутке, подставляя пробные точки:

• $x<-1$: $(-)(-)/(-) = -$ → подходит;
• $-1<x<0$: $(-)(+)/(-) = +$ → не подходит;
• $0<x<1$: $(-)(+)/(+) = -$ → подходит;
• $x>1$: $(+)(+)/(+) = +$ → не подходит.

Шаг 5. Записываем ответ. Знак "$\le$" включает точки, где выражение равно нулю (то есть $x=-1$ и $x=1$), но не включает $x=0$. Получаем $x\le-1$ или $0<x\le1$, то есть $x\in(-\infty;-1]\cup(0;1]$.