Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

ОДЗ: знаменатели не равны нулю, значит $x^2-3x+2\neq0$ и $x^2-3x\neq0$, то есть $x\neq0,1,2,3$.

Замечаем, что в обоих слагаемых встречается одно и то же выражение $x^2-3x$. Введём замену $y=x^2-3x$. Тогда $x^2-3x+2=y+2$, и неравенство принимает вид $$\frac{y-2}{y+2}+\frac{y+16}{y}\ge0.$$

Приводим к общему знаменателю $y(y+2)$: числитель равен $(y-2)y+(y+16)(y+2)=y^2-2y+y^2+18y+32=2y^2+16y+32=2(y+4)^2$. Получаем $$\frac{2(y+4)^2}{y(y+2)}\ge0.$$

Числитель $2(y+4)^2\ge0$ всегда, обращаясь в ноль только при $y=-4$. Поэтому знак всей дроби определяется знаком знаменателя $y(y+2)$, а точка $y=-4$ (где $y(y+2)=8>0$) автоматически входит в множество, где знаменатель положителен. Значит неравенство равносильно строгому $y(y+2)>0$, то есть $y<-2$ или $y>0$ (точки $y=0,-2$ исключены, так как там знаменатель нуль).

Возвращаемся к $x$: – для $y<-2$: $x^2-3x<-2\Rightarrow x^2-3x+2<0\Rightarrow(x-1)(x-2)<0\Rightarrow1<x<2$; – для $y>0$: $x^2-3x>0\Rightarrow x(x-3)>0\Rightarrow x<0$ или $x>3$.

Объединяя оба случая и учитывая, что все найденные интервалы уже не содержат исключённых точек $0,1,2,3$, получаем ответ.