Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

1. ОДЗ: знаменатель $x^2-2x+1=(x-1)^2\neq 0$, значит $x\neq 1$.

2. Переносим все члены в одну часть и приводим к общему знаменателю (он у обеих дробей одинаковый): $$\frac{4(x^3+x^2)-9(x+1)}{(x-1)^2}\le 0 \;\Rightarrow\; \frac{4x^3+4x^2-9x-9}{(x-1)^2}\le 0.$$ Так поступают, потому что неравенство с дробями удобно свести к одному знаку сравнения с нулём.

3. Разложим числитель на множители группировкой: $4x^3+4x^2-9x-9=4x^2(x+1)-9(x+1)=(x+1)(4x^2-9)=(x+1)(2x-3)(2x+3).$ Это позволяет применить метод интервалов.

4. Получаем равносильное неравенство $$\frac{(x+1)(2x-3)(2x+3)}{(x-1)^2}\le 0,\qquad x\neq1.$$ Знаменатель $(x-1)^2$ всегда положителен (кроме запрещённой точки), поэтому знак всей дроби определяется знаком числителя. Значит задача сводится к решению $(x+1)(2x-3)(2x+3)\le0$ при условии $x\neq1$.

5. Нули числителя: $x=-3/2,\,x=-1,\,x=3/2$. Расставляем их на числовой прямой и определяем знак произведения на каждом промежутке (каждый множитель меняет знак при переходе через свой корень, все корни простые):

• $x<-3/2$: произведение отрицательно — подходит;
• $-3/2<x<-1$: положительно — не подходит;
• $-1<x<1$ (кроме $x=1$): отрицательно — подходит;
• $1<x<3/2$: отрицательно — подходит;
• $x>3/2$: положительно — не подходит.

6. В точках $x=-3/2,\,x=-1,\,x=3/2$ числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю — эти точки включаем (неравенство нестрогое). Точку $x=1$ исключаем, так как она не входит в область определения.

Собираем все подходящие промежутки, учитывая исключённую точку $x=1$: $$x\in(-\infty;-3/2]\cup[-1;1)\cup(1;3/2].$$