Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

1. Область определения. Знаменатели: $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$ и $x+2$. Значит $x\neq -2,\; x\neq 1$.

2. Разложим числитель первой дроби. $x^4-2x^3+x^2=x^2(x^2-2x+1)=x^2(x-1)^2$. Знаменатель уже разложен: $(x+2)(x-1)$. Сокращая (при $x\neq1$) общий множитель $(x-1)$, получаем $$\frac{x^2(x-1)^2}{(x+2)(x-1)}=\frac{x^2(x-1)}{x+2}.$$

3. Приведём всё к одному знаменателю $x+2$. Переносим 1 влево и объединяем дроби: $$\frac{x^2(x-1)-(2x^3+x^2+x-1)-(x+2)}{x+2}\leqslant0.$$

4. Раскроем скобки в числителе. $x^3-x^2-2x^3-x^2-x+1-x-2=-x^3-2x^2-2x-1$. Получаем $$\frac{-x^3-2x^2-2x-1}{x+2}\leqslant0.$$

5. Умножим обе части на $-1$ (знак неравенства меняется). $$\frac{x^3+2x^2+2x+1}{x+2}\geqslant0.$$

6. Разложим кубический многочлен. Подбором корня $x=-1$: $(-1)^3+2(-1)^2+2(-1)+1=0$, значит $x+1$ — множитель. Делением получаем $x^3+2x^2+2x+1=(x+1)(x^2+x+1)$.

7. Заметим, что $x^2+x+1>0$ всегда (дискриминант $1-4=-3<0$), поэтому этот множитель не влияет на знак дроби. Неравенство сводится к $$\frac{x+1}{x+2}\geqslant0,\qquad x\neq1.$$

8. Решаем методом интервалов. Нули: $x=-1$ (включается, так как неравенство нестрогое), $x=-2$ (не входит, знаменатель). Знак дроби положителен при $x<-2$ или $x\geqslant-1$.

9. Учитываем исключённую точку $x=1$. Получаем окончательное решение: $$x\in(-\infty;-2)\cup[-1;1)\cup(1;+\infty).$$