Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

1. ОДЗ: знаменатели не равны нулю, значит $x\neq 0,\,x\neq -1,\,x\neq -2,\,x\neq -3$.

2. Каждое слагаемое вида $\dfrac{1}{n(n+1)}$ можно разложить как $\dfrac1n-\dfrac1{n+1}$ — это стандартный приём разложения дробей на простейшие. Применяя это к трём слагаемым, получаем телескопическую сумму: $\left(\dfrac1x-\dfrac1{x+1}\right)+\left(\dfrac1{x+1}-\dfrac1{x+2}\right)+\left(\dfrac1{x+2}-\dfrac1{x+3}\right)$. Промежуточные члены взаимно уничтожаются, остаётся $\dfrac1x-\dfrac1{x+3}\le\dfrac34$.

3. Приводим левую часть к общему знаменателю: $\dfrac{(x+3)-x}{x(x+3)}=\dfrac{3}{x(x+3)}\le\dfrac34$.

4. Переносим всё в одну сторону: $\dfrac{3}{x(x+3)}-\dfrac34\le0 \Rightarrow \dfrac{4-3x-x^2}{4x(x+3)}\le0$. Умножаем на $-4$ (меняем знак неравенства): $\dfrac{x^2+3x-4}{x(x+3)}\ge0$.

5. Разлагаем числитель по корням уравнения $x^2+3x-4=0$: корни $x=1,\,x=-4$, значит числитель $=(x-1)(x+4)$. Получаем $\dfrac{(x-1)(x+4)}{x(x+3)}\ge0$.

6. Методом интервалов расставляем нули и точки разрыва: $-4,-3,0,1$. Знаки функции чередуются, начиная с плюса при $x>1$: получаем решение $x\le-4$ или $-3<x<0$ или $x\ge1$ (с учётом равенства нулю в точках $-4$ и $1$, где числитель равен нулю и функция определена).

7. Учитываем ОДЗ: из промежутка $(-3;0)$ нужно исключить точки $x=-1$ и $x=-2$, разбивая его на $(-3;-2)\cup(-2;-1)\cup(-1;0)$.

Итог: $x\in(-\infty;-4]\cup(-3;-2)\cup(-2;-1)\cup(-1;0)\cup[1;+\infty)$.