Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

Обозначим $a=4x+3$, $b=x^2-x+9$. Тогда неравенство принимает вид $$6ab<9a^2+b^2.$$ Перенесём всё в одну сторону: $$9a^2-6ab+b^2>0.$$ Левая часть — это квадрат разности: $9a^2-6ab+b^2=(3a-b)^2$ (используем формулу $(p-q)^2=p^2-2pq+q^2$ при $p=3a$, $q=b$). Получаем $$(3a-b)^2>0.$$ Квадрат любого выражения больше нуля тогда и только тогда, когда само выражение не равно нулю (квадрат нуля равен нулю, а любое другое число в квадрате положительно). Значит, условие равносильно $$3a-b\neq 0 \iff 3a\neq b.$$ Теперь возвращаемся к переменной $x$, подставляя обратно $a$ и $b$: $$3(4x+3)\neq x^2-x+9.$$ Раскроем скобки: $12x+9\neq x^2-x+9$. Приведём подобные слагаемые: $$x^2-x-12x\neq 0 \iff x^2-13x\neq 0.$$ Разложим на множители: $x(x-13)\neq 0$. Произведение не равно нулю, если ни один из множителей не равен нулю, то есть должны одновременно выполняться $$x\neq 0 \quad\text{и}\quad x\neq 13.$$ Это именно система условий (оба должны выполняться сразу), а не совокупность — ведь исключаются две отдельные точки из числовой прямой. В результате из всей числовой прямой убираем точки $0$ и $13$, что даёт три промежутка.