Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

Разложим числитель $x^{3}-4x^{2}-3x+18$ на множители. Подбором находим корень $x=-2$: подставляя, получаем 0. Делим многочлен на $(x+2)$: $x^{3}-4x^{2}-3x+18=(x+2)(x^{2}-6x+9)=(x+2)(x-3)^{2}$.

Знаменатель раскладывается как разность квадратов через дискриминант: $x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1)$. Значит область определения: $x\neq3,\;x\neq-1$.

Неравенство принимает вид $\dfrac{(x+2)(x-3)^{2}}{(x-3)(x+1)}\le x+2$.

Переносим всё в одну часть и приводим к общему знаменателю: $$\frac{(x+2)(x-3)^{2}-(x+2)(x-3)(x+1)}{(x-3)(x+1)}\le0.$$ Выносим общий множитель $(x+2)(x-3)$ из числителя: $(x-3)^{2}-(x-3)(x+1)=(x-3)[(x-3)-(x+1)]=(x-3)(-4)=-4(x-3)$.

Получаем $$\frac{-4(x+2)(x-3)}{(x-3)(x+1)}\le0.$$ Умножаем обе части на $-\frac14$ (знак неравенства меняется на противоположный): $$\frac{(x+2)(x-3)}{(x-3)(x+1)}\ge0.$$

При $x\neq3$ можно сократить общий множитель $(x-3)$ (он не равен нулю), получаем упрощённое неравенство $$\frac{x+2}{x+1}\ge0,\qquad x\neq3.$$

Методом интервалов для $\dfrac{x+2}{x+1}$: нули и точки разрыва — $x=-2$ (включается, числитель обращается в 0) и $x=-1$ (не входит, знаменатель 0). Знак дроби положителен при $x\le-2$ и при $x>-1$.

Учитываем исключённую точку $x=3$: из промежутка $x>-1$ вырезаем $x=3$.

Итоговое решение: $x\le-2$ или $-1<x<3$ или $x>3$, то есть $(-\infty;-2]\cup(-1;3)\cup(3;+\infty)$.