Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

1. Разложим числитель и знаменатель первой дроби. $4x^4-4x^3+x^2=x^2(2x-1)^2$, а $-2x^2+5x-2=(2x-1)(2-x)$. Значит первая дробь равна $\dfrac{x^2(2x-1)^2}{(2x-1)(2-x)}=\dfrac{x^2(2x-1)}{2-x}$ при условии $x\neq \dfrac12$ (иначе исходное выражение не определено).

2. ОДЗ всего неравенства: знаменатели не равны нулю, то есть $x\neq\dfrac12$ и $x\neq2$.

3. Приведём обе дроби к общему знаменателю. Так как $x-2=-(2-x)$, перепишем вторую дробь как $\dfrac{-(2x^3-7x^2+5x+1)}{2-x}$. Тогда сумма дробей равна $\dfrac{x^2(2x-1)-(2x^3-7x^2+5x+1)}{2-x}$.

4. Раскроем числитель: $x^2(2x-1)=2x^3-x^2$, вычитаем $(2x^3-7x^2+5x+1)$: $2x^3-x^2-2x^3+7x^2-5x-1=6x^2-5x-1$.

Получаем неравенство $\dfrac{6x^2-5x-1}{2-x}\le0$, что равносильно (умножив обе части на $-1$ и сменив знак дроби) $\dfrac{6x^2-5x-1}{x-2}\ge0$, с учётом $x\neq\dfrac12,\; x\neq2$.

5. Разложим квадратный трёхчлен: корни находим по формуле $x=\dfrac{5\pm\sqrt{25+24}}{12}=\dfrac{5\pm7}{12}$, то есть $x=1$ и $x=-\dfrac16$. Значит $6x^2-5x-1=(6x+1)(x-1)$.

Неравенство принимает вид $\dfrac{(6x+1)(x-1)}{x-2}\ge0$.

6. Отмечаем нули и точку разрыва на числовой прямой: $-\dfrac16,\,1,\,2$. Методом интервалов определяем знаки на каждом промежутке (при переходе через простую нулевую точку знак меняется):

• на $(-\infty;-\dfrac16)$ – минус,
• на $(-\dfrac16;1)$ – плюс,
• на $(1;2)$ – минус,
• на $(2;+\infty)$ – плюс.

Точки $x=-\dfrac16$ и $x=1$ включаются (числитель равен нулю, знаменатель не равен нулю), точка $x=2$ исключается (там знаменатель равен нулю).

Получаем $x\in[-\dfrac16;1]\cup(2;+\infty)$.

7. Учитываем исключённую из ОДЗ точку $x=\dfrac12$, которая попадает в промежуток $[-\dfrac16;1]$, поэтому убираем её из решения.

Итоговое решение: $x\in\left[-\dfrac16;\dfrac12\right)\cup\left(\dfrac12;1\right]\cup(2;+\infty)$.