Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

1. ОДЗ: знаменатели $x^2$ и $4x^2$ не равны нулю, значит $x\neq 0$.

2. Заметим, что $x^5-x^2=x^2(x^3-1)$, поэтому $\dfrac{x^5-x^2}{x^2}=x^3-1$ (сокращаем на $x^2\neq0$). Тогда неравенство принимает вид $$x^3-1 \ge \dfrac{x^3-1}{4x^2}.$$

3. Переносим всё в одну сторону и выносим общий множитель $(x^3-1)$: $$(x^3-1)\left(1-\dfrac1{4x^2}\right)\ge0 \;\Longleftrightarrow\; \dfrac{(x^3-1)(4x^2-1)}{4x^2}\ge0.$$ Знаменатель $4x^2>0$ на ОДЗ, поэтому знак дроби совпадает со знаком числителя: $$(x^3-1)(4x^2-1)\ge0.$$

4. Раскладываем на множители: $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$, причём $x^2+x+1>0$ при всех $x$ (дискриминант отрицательный), значит его можно отбросить, не меняя знак. Также $4x^2-1=(2x-1)(2x+1)$. Получаем равносильное неравенство $$(x-1)(2x-1)(2x+1)\ge0.$$

5. Находим нули множителей: $x=1,\ x=0{,}5,\ x=-0{,}5$ — это точки, где меняется знак. Расставляем их на числовой прямой и определяем знак произведения на каждом промежутке методом интервалов (учитывая нечётные степени всех множителей — знак меняется в каждой точке):

• при $x<-0{,}5$ — знак «$-$»;
• при $-0{,}5<x<0{,}5$ — знак «$+$»;
• при $0{,}5<x<1$ — знак «$-$»;
• при $x>1$ — знак «$+$».

В нулях произведение равно нулю, значит эти точки входят в решение (неравенство нестрогое).

6. Получаем $x\in[-0{,}5;0{,}5]\cup[1;+\infty)$, но нужно исключить $x=0$, так как оно не входит в ОДЗ.

Итог: $x\in[-0{,}5;0)\cup(0;0{,}5]\cup[1;+\infty)$.