Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

Перенесём все члены с x в одну часть, остальные — в другую: $$x\sqrt{8}-7x+14\sqrt{8}>57$$ $$(\sqrt{8}-7)x+14\sqrt{8}-57>0$$ $$(\sqrt{8}-7)x>57-14\sqrt{8}$$

Теперь нужно разделить обе части на коэффициент при x, то есть на $(\sqrt{8}-7)$. Оценим его знак: $\sqrt{8}\approx2{,}83$, значит $\sqrt{8}-7<0$ — коэффициент отрицательный. При делении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $$x<\frac{57-14\sqrt{8}}{\sqrt{8}-7}$$

Преобразуем числитель, заметив, что он похож на квадрат разности. Проверим: $$(\sqrt{8}-7)^2=8-14\sqrt{8}+49=57-14\sqrt{8}$$

Это в точности совпадает с числителем! Значит: $$x<\frac{(\sqrt{8}-7)^2}{\sqrt{8}-7}$$

Поскольку $\sqrt{8}-7\ne0$, можно сократить дробь на этот множитель: $$x<\sqrt{8}-7$$

Таким образом множество решений — все x, меньшие числа $\sqrt{8}-7$, то есть промежуток $(-\infty;\ \sqrt{8}-7)$.