Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

Область допустимых значений: знаменатели не равны нулю, значит $x\neq0,\;x\neq1,\;x\neq5$.

Переносим всё в одну сторону: $\dfrac{20+x-x^2}{x^2-5x}-1+\dfrac{2}{x-1}\le0$. Умножив на $-1$ (знак меняется на $\geqslant$), получаем $\dfrac{x^2-x-20}{x^2-5x}+\dfrac{x-3}{x-1}\geqslant0$, так как $1-\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{x-3}{x-1}$.

Разложим числитель и знаменатель первой дроби: $x^2-x-20=(x-5)(x+4)$, $x^2-5x=x(x-5)$. Сокращаем на $(x-5)$ (при $x\neq5$): $\dfrac{x+4}{x}+\dfrac{x-3}{x-1}\geqslant0$.

Приводим к общему знаменателю $x(x-1)$: числитель равен $x(x-3)+(x+4)(x-1)=x^2-3x+x^2+3x-4=2x^2-4=2(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)$.

Получаем равносильное неравенство $\dfrac{(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)}{x(x-1)}\geqslant0$, при этом помним про исключённую точку $x=5$.

Методом интервалов расставляем знаки относительно точек $-\sqrt2,\,0,\,1,\,\sqrt2$: слева от $-\sqrt2$ — плюс, между $-\sqrt2$ и $0$ — минус, между $0$ и $1$ — плюс, между $1$ и $\sqrt2$ — минус, справа от $\sqrt2$ — плюс. Точки $-\sqrt2$ и $\sqrt2$ включаем (числитель обращается в 0, знаменатель нет), точки $0$ и $1$ — исключаем (там знаменатель равен 0). Дополнительно убираем $x=5$, так как эта точка не входит в ОДЗ исходного неравенства.

Итог: $x\leqslant-\sqrt2$, или $0<x<1$, или $\sqrt2\leqslant x<5$, или $x>5$.