Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

1. Замечаем, что $9x^2-24x+16=(3x-4)^2$, а $x^2-8x+15=(x-3)(x-5)$. Значит правую часть можно записать как $\dfrac{(3x-4)^2}{(x-3)(x-5)}$.

2. Переносим всё в левую часть неравенства: $$\dfrac{(3x-4)^2}{x-3}-\dfrac{(3x-4)^2}{(x-3)(x-5)}\ge 0.$$ Здесь ОДЗ требует $x\neq3,\ x\neq5$.

3. Выносим общий множитель $\dfrac{(3x-4)^2}{x-3}$ за скобку — это удобно, потому что обе дроби содержат одинаковый числитель и общий знаменатель $x-3$: $$\dfrac{(3x-4)^2}{x-3}\left(1-\dfrac{1}{x-5}\right)\ge 0.$$

4. Приводим выражение в скобке к одной дроби: $$1-\dfrac{1}{x-5}=\dfrac{x-5-1}{x-5}=\dfrac{x-6}{x-5}.$$ Получаем равносильное неравенство: $$\dfrac{(3x-4)^2(x-6)}{(x-3)(x-5)}\ge 0.$$

5. Множитель $(3x-4)^2$ всегда неотрицателен, поэтому он не влияет на знак дроби, кроме точки $x=\dfrac{4}{3}$, где числитель обращается в нуль — там всё выражение равно 0, и это значение подходит (при условии, что оно не совпадает с точками разрыва, а $4/3\neq3,5$).

6. Для остальных $x$ знак определяется дробью $\dfrac{x-6}{(x-3)(x-5)}$. Отмечаем на числовой оси точки $3,5,6$ и методом интервалов определяем знаки:

• при $x<3$ — минус;
• при $3<x<5$ — плюс;
• при $5<x<6$ — минус;
• при $x>6$ — плюс. В точке $x=6$ выражение равно нулю, поэтому включаем её (знаменатель не нулевой).

7. Собираем промежутки, где неравенство выполняется ($\ge0$): $x=\dfrac{4}{3}$ (отдельная точка), $(3;5)$ и $[6;+\infty)$.

Итоговое множество решений — объединение этих частей.