Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

Введём замену $t=\dfrac{25x^2-10x-8}{2}$. Тогда исходное неравенство принимает вид $\left(\dfrac1t+t\right)^2\ge4$.

Раскроем квадрат: $\dfrac{1}{t^2}+2+t^2\ge4$, откуда $\dfrac{1}{t^2}+t^2-2\ge0$.

Заметим, что $\dfrac{1}{t^2}-2+t^2=\left(\dfrac1t-t\right)^2$ — это полный квадрат разности, ведь $\left(\dfrac1t-t\right)^2=\dfrac1{t^2}-2+t^2$. Значит неравенство равносильно $\left(\dfrac1t-t\right)^2\ge0$.

Квадрат любого числа всегда неотрицателен, поэтому это неравенство выполняется для всех $t$, для которых выражение $\dfrac1t-t$ определено, то есть при $t\ne0$ (единственное ограничение — знаменатель дроби $\frac1t$ не должен обращаться в ноль).

Таким образом, условие сводится к тому, что $t\ne0$, то есть $$\dfrac{25x^2-10x-8}{2}\ne0 \iff 25x^2-10x-8\ne0.$$

Решим соответствующее уравнение $25x^2-10x-8=0$ по формуле корней квадратного уравнения: $$x=\dfrac{10\pm\sqrt{100+800}}{50}=\dfrac{10\pm30}{50}.$$

Отсюда $x_1=\dfrac{40}{50}=\dfrac45$, $x_2=\dfrac{-20}{50}=-\dfrac25$.

Значит, исходное неравенство выполняется при всех $x$, кроме этих двух значений: $$x\ne-\dfrac25,\quad x\ne\dfrac45.$$

Запишем ответ в виде объединения интервалов, исключив эти точки из числовой прямой.