Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю: $$\frac{2x^2-6x}{x-4}-x\le0.$$ Так как $x=\dfrac{x(x-4)}{x-4}=\dfrac{x^2-4x}{x-4}$ (при $x\ne4$), получаем $$\frac{2x^2-6x-(x^2-4x)}{x-4}\le0 \;\Longrightarrow\; \frac{x^2-2x}{x-4}\le0.$$ Разложим числитель на множители: $x^2-2x=x(x-2)$. Неравенство принимает вид $$\frac{x(x-2)}{x-4}\le0.$$ Теперь используем метод интервалов. Отмечаем на числовой прямой точки, где выражение равно нулю или не определено: $x=0$, $x=2$ (нули числителя, включаются, т.к. неравенство нестрогое) и $x=4$ (нуль знаменателя, исключается всегда). Определяем знак дроби на каждом из промежутков, подставляя пробную точку:

• при $x<0$ все три множителя отрицательны, произведение двух отрицательных в числителе даёт плюс, а деление на отрицательный знаменатель даёт минус — знак «−»;
• при $0<x<2$ числитель становится «плюс·минус»=минус, знаменатель минус — итог «плюс»;
• при $2<x<4$ числитель «плюс·плюс»=плюс, знаменатель минус — итог «минус»;
• при $x>4$ все множители положительны — итог «плюс». Нас интересуют промежутки, где выражение $\le0$, то есть где знак «−» или равен нулю. Это $x<0$ (со знаком минус) вместе с точкой $x=0$, а также $2<x<4$ (со знаком минус) вместе с точкой $x=2$; точка $x=4$ не входит, так как там знаменатель обращается в ноль. Объединяя эти промежутки, получаем решение $x\in(-\infty;0]\cup[2;4)$.