Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

Умножим обе части неравенства на общий знаменатель, равный 4 (это можно делать, так как 4>0, знак неравенства не меняется):

$$4\cdot\frac{(x-1)^2+4(x+1)^2}{2}\le 4\cdot\frac{(3x+1)^2}{4}$$

Получаем

$$2(x-1)^2+8(x+1)^2\le (3x+1)^2.$$

Раскрываем скобки по формулам $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ и $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$2(x^2-2x+1)+8(x^2+2x+1)\le 9x^2+6x+1$

$2x^2-4x+2+8x^2+16x+8\le 9x^2+6x+1$

Собираем подобные слагаемые слева:

$10x^2+12x+10\le 9x^2+6x+1$

Переносим все члены в левую часть:

$10x^2+12x+10-9x^2-6x-1\le 0$

$x^2+6x+9\le 0$

Замечаем, что левая часть — это полный квадрат: $x^2+6x+9=(x+3)^2$. Значит, неравенство принимает вид

$$(x+3)^2\le 0.$$

Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(x+3)^2\ge 0$ всегда. Поэтому неравенство $(x+3)^2\le 0$ выполняется только тогда, когда $(x+3)^2=0$, то есть при $x=-3$.

Проверим, что при $x=-3$ исходное выражение определено (знаменатели 2 и 4 не равны нулю всегда), значит это значение входит в область допустимых значений.

Итак, единственное решение — $x=-3$.