Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

Шаг 1. Разложим знаменатели на множители. Заметим, что $x^2+13x+40=(x+5)(x+8)$, а $x^2+15x+56=(x+7)(x+8)$ (корни находятся по теореме Виета). Неравенство принимает вид $$\frac{3}{(x+5)(x+8)}\ge \frac{1}{(x+7)(x+8)},\qquad x\ne-5,-7,-8.$$

Шаг 2. Перенесём всё в одну сторону и приведём к общему знаменателю. Общий знаменатель — $(x+5)(x+7)(x+8)$: $$\frac{3(x+7)-(x+5)}{(x+5)(x+7)(x+8)}\ge0.$$ Раскрываем числитель: $3(x+7)-(x+5)=3x+21-x-5=2x+16=2(x+8)$.

Получаем $$\frac{2(x+8)}{(x+5)(x+7)(x+8)}\ge0.$$

Шаг 3. Сократим дробь, не забывая про ОДЗ. При $x\ne-8$ можно сократить множитель $(x+8)$ — это законно, так как деление на неравный нулю множитель не меняет знак дроби. Получаем равносильную систему: $$\begin{cases}\dfrac{2}{(x+5)(x+7)}\ge0,\\ x\ne-8.\end{cases}$$

Шаг 4. Решим полученное неравенство. Числитель $2>0$, значит дробь неотрицательна тогда и только тогда, когда знаменатель положителен (равенство нулю невозможно, так как числитель не равен нулю): $$(x+5)(x+7)>0\ \Rightarrow\ x<-7\ \text{или}\ x>-5$$ (парабола с корнями $-7$ и $-5$ положительна вне корней).

Шаг 5. Учтём выколотую точку $x=-8$. Точка $x=-8$ входит в промежуток $x<-7$, поэтому его нужно разбить: $$x<-8\quad\text{или}\quad -8<x<-7,$$ а промежуток $x>-5$ остаётся без изменений (точка $-8$ туда не входит).

Итог. Объединяя все части, получаем ответ.