Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

Область определения: $x\neq -1$ (знаменатель $x^2-x+1$ не обращается в нуль, так как его дискриминант отрицателен).

Заметим, что $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$ — сумма кубов. Значит при $x\neq -1$ дробь $\dfrac{x^3+1}{x+1}=x^2-x+1$. Неравенство превращается в $$x^2-x+1+\dfrac{3}{x^2-x+1}\le 4,\qquad x\neq -1.$$

Введём замену $y=x^2-x+1>0$ (это удобно, так как выражение повторяется). Получаем $$y+\dfrac{3}{y}\le 4 \iff \dfrac{y^2-4y+3}{y}\le0 \iff \dfrac{(y-1)(y-3)}{y}\le0.$$

Метод интервалов для этой дроби даёт $y<0$ или $1\le y\le3$. Так как $y=x^2-x+1$ всегда положительно, вариант $y<0$ отпадает, остаётся $1\le y\le3$.

Возвращаемся к $x$: $1\le x^2-x+1\le3$, то есть система $$x^2-x\ge0,\qquad x^2-x-2\le0.$$ Первое неравенство $x(x-1)\ge0$ даёт $x\le0$ или $x\ge1$. Второе $(x+1)(x-2)\le0$ даёт $-1\le x\le2$.

Пересекая эти множества и убирая точку $x=-1$ (не входит в область определения), получаем $$(-1;0]\cup[1;2].$$