Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

Область допустимых значений: $x\neq-1,\ x\neq-2$ (знаменатели не равны нулю).

Приводим левую часть к общему знаменателю: $x+1-\frac{4}{x+1}=\frac{(x+1)^2-4}{x+1}=\frac{(x-1)(x+3)}{x+1}$, так как $(x+1)^2-4=x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$ (разность квадратов и разложение квадратного трёхчлена).

Правую часть тоже разложим: $6-4x-2x^2=-2(x^2+2x-3)=-2(x-1)(x+3)$, поэтому она равна $\frac{-2(x-1)(x+3)}{x+2}$.

Переносим всё в левую часть и получаем сумму дробей: $$\frac{(x-1)(x+3)}{x+1}+\frac{2(x-1)(x+3)}{x+2}\ge0.$$ Общий множитель $(x-1)(x+3)$ выносим за скобки: $$(x-1)(x+3)\left(\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x+2}\right)\ge0.$$ Складываем дроби в скобке: $\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x+2}=\frac{(x+2)+2(x+1)}{(x+1)(x+2)}=\frac{3x+4}{(x+1)(x+2)}$.

Получаем итоговое неравенство: $$\frac{(x-1)(x+3)(3x+4)}{(x+1)(x+2)}\ge0.$$

Нули числителя: $x=1,\ x=-3,\ x=-\frac{4}{3}$ — берём с равенством. Нули знаменателя: $x=-1,\ x=-2$ — исключаем.

Применяем метод интервалов, отмечая точки на прямой в порядке $-3<-2<-\frac{4}{3}<-1<1$ и учитывая, что знак меняется при переходе через каждый простой корень (числителя или знаменателя). Определяя знак дроби на крайнем правом промежутке ($x>1$ — все множители положительны, дробь положительна) и далее чередуя знаки, получаем положительные промежутки: $x>1$, $-\frac{4}{3}\le x<-1$, $-3\le x<-2$.

Включаем точки, где числитель равен нулю ($x=1,-\frac{4}{3},-3$), и исключаем точки, где знаменатель равен нулю ($x=-1,-2$).

Итоговый ответ: $x\in[-3;-2)\cup[-\frac{4}{3};-1)\cup[1;+\infty)$.