Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

1. Разложим все квадратные трёхчлены на множители, чтобы увидеть общие скобки: $x^2+5x+4=(x+1)(x+4)$, $x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$, $x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$, $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$, $x^2+2x+1=(x+1)^2$.

Неравенство становится: $$\frac{(x+1)(x+4)(x+1)}{(x+2)(x+4)}+\frac{(x+1)(x+3)(x+1)}{(x+2)(x+3)}\le (x^2+1)(x+1)^2.$$

2. Сокращаем множители $(x+4)$ и $(x+3)$ (при этом требуем $x\ne-4,\;x\ne-3$, чтобы не делить на ноль): $$\frac{(x+1)^2}{x+2}+\frac{(x+1)^2}{x+2}\le (x^2+1)(x+1)^2,$$ т.е. $\dfrac{2(x+1)^2}{x+2}\le (x^2+1)(x+1)^2$.

3. Переносим всё в одну сторону и выносим общий множитель $(x+1)^2$: $$(x+1)^2\left(x^2+1-\frac{2}{x+2}\right)\ge0.$$

4. Приводим скобку к общему знаменателю: $(x^2+1)(x+2)-2=x^3+2x^2+x=x(x+1)^2$, значит $$(x+1)^2\cdot\frac{x(x+1)^2}{x+2}\ge0\ \Longleftrightarrow\ \frac{x(x+1)^4}{x+2}\ge0.$$

5. Анализируем знак. Множитель $(x+1)^4\ge0$ всегда, поэтому он не влияет на знак, кроме точки $x=-1$, где всё выражение равно нулю (и неравенство выполняется автоматически). При $x\ne-1$ знак определяется дробью $\dfrac{x}{x+2}\ge0$, что даёт $x<-2$ или $x\ge0$ (точка $x=-2$ исключена, там знаменатель равен нулю).

6. Собираем ответ, учитывая ранее исключённые $x=-4$ и $x=-3$, а также добавляя отдельно $x=-1$: $$x<-4,\ -4<x<-3,\ -3<x<-2,\ x=-1,\ x\ge0.$$