Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

1. ОДЗ. Знаменатель $x-3\neq0$, значит $x\neq3$.

2. Переносим всё влево. Записываем неравенство как $$x^3+9x^2+6-\frac{6x^3+4{,}5x^2}{x-3}-\frac{(3x+1)^2-19}{x-3}\le0,$$ и приводим к общему знаменателю $x-3$, чтобы сравнить с нулём одну дробь — это стандартный приём для рациональных неравенств.

3. Раскрываем числитель. $(x^3+9x^2+6)(x-3)=x^4+6x^3-27x^2+6x-18$. Вычитаем $6x^3+4{,}5x^2$ и $(3x+1)^2=9x^2+6x+1$, прибавляем $19$. После приведения подобных членов остаётся $$x^4-40{,}5x^2.$$ Таким образом неравенство свелось к $$\frac{x^4-40{,}5x^2}{x-3}\le0.$$

4. Разложение на множители. Выносим $x^2$: $x^2(x^2-40{,}5)$. Так как $40{,}5=\dfrac{81}{2}$, то $\sqrt{40{,}5}=\dfrac{9\sqrt2}{2}$, и $$x^2\Big(x-\dfrac{9\sqrt2}{2}\Big)\Big(x+\dfrac{9\sqrt2}{2}\Big).$$ Неравенство приобретает вид $$\frac{x^2\big(x-\frac{9\sqrt2}{2}\big)\big(x+\frac{9\sqrt2}{2}\big)}{x-3}\le0,\quad x\neq3.$$

5. Метод интервалов. Отмечаем на числовой прямой точки $-\dfrac{9\sqrt2}{2}\approx-6{,}36$, $0$ (корень чётной кратности — знак дроби не меняется, но сама точка включается, так как в ней значение равно 0), $3$ (выкол, знаменатель обращается в 0), $\dfrac{9\sqrt2}{2}\approx6{,}36$.

Определяем знак дроби на каждом промежутке, начиная с крайнего правого, где всё положительно, и чередуя знак при переходе через простые корни (кроме $x=0$, где кратность 2 — знак сохраняется). Получаем: дробь $\le0$ при $$x\le-\dfrac{9\sqrt2}{2},\quad x=0,\quad 3<x\le\dfrac{9\sqrt2}{2}.$$

6. Объединяем с ОДЗ ($x\neq3$, что уже учтено) и записываем ответ.