Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

1. Область определения. Знаменатель $x-8$ не может быть равен нулю, поэтому $x\neq 8$.

2. Переносим единицу влево. Записываем неравенство как разность и приводим к общему знаменателю $x-8$: $$\frac{x^3+5x^2)(x-8)+30x^2+x-8}{x-8}\leqslant 1 \;\Longleftrightarrow\; \frac{(x^3+5x^2)(x-8)+30x^2+x-8-(x-8)}{x-8}\leqslant 0.$$ Это законно, так как умножение/деление на выражение $(x-8)$ мы не делаем — просто приводим к общему знаменателю, знак дроби от этого не меняется.

3. Раскрываем скобки в числителе. $$(x^3+5x^2)(x-8)=x^4-8x^3+5x^3-40x^2=x^4-3x^3-40x^2.$$ Добавляя $30x^2+x-8$ и вычитая $(x-8)$, после приведения подобных получаем числитель $$x^4-3x^3-10x^2.$$ Таким образом неравенство принимает вид $$\frac{x^4-3x^3-10x^2}{x-8}\leqslant 0.$$

4. Разложение на множители. Выносим $x^2$: $x^4-3x^3-10x^2=x^2(x^2-3x-10)$. Квадратный трёхчлен $x^2-3x-10$ имеет корни $x=5$ и $x=-2$ (по теореме Виета: сумма $3$, произведение $-10$). Значит, $$x^2(x-5)(x+2).$$ Неравенство: $$\frac{x^2(x-5)(x+2)}{x-8}\leqslant 0.$$

5. Метод интервалов. Нули числителя: $x=-2,\;x=0$ (кратность 2), $x=5$; точка разрыва $x=8$. Множитель $x^2$ всегда неотрицателен и не меняет знак при переходе через $x=0$, поэтому в этой точке дробь равна нулю (входит в ответ), но знак слева и справа от неё одинаков.

Расставляя знаки слева от $-2$ вправо: при $x<-2$ дробь положительна... проверка по интервалам даёт: дробь $\leqslant 0$ на промежутках $(-\infty;-2]$, в точке $x=0$, и на $[5;8)$ (точка $8$ исключена, так как там знаменатель равен нулю).

6. Итог. Объединяя все найденные множества, получаем решение неравенства.