Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

1. Область определения: знаменатели не равны нулю, значит $x^2+x-2=(x+2)(x-1)\neq0$ и $x+2\neq0$, то есть $x\neq -2,\ x\neq 1$.

2. Разложим дробь $\dfrac{21x+39}{x^2+x-2}$ на сумму простых дробей с тем же знаменателем $(x+2)(x-1)$. Подбираем: $21x+39=20(x+2)+(x-1)$, значит $$\dfrac{21x+39}{(x+2)(x-1)}=\dfrac{20}{x-1}+\dfrac{1}{x+2}.$$

3. Подставляем в исходное неравенство: $$2x+1-\dfrac{20}{x-1}-\dfrac{1}{x+2}\ge -\dfrac{1}{x+2}.$$ Слагаемые $-\dfrac1{x+2}$ слева и справа взаимно уничтожаются (при $x\neq-2$), и получаем более простое неравенство: $$2x+1-\dfrac{20}{x-1}\ge0,\qquad x\neq-2.$$

4. Приводим к общему знаменателю: $$\dfrac{(2x+1)(x-1)-20}{x-1}\ge0 \;\Rightarrow\; \dfrac{2x^2-x-21}{x-1}\ge0.$$

5. Разложим числитель через дискриминант: $D=1+168=169$, корни $x=\dfrac{1\pm13}{4}$, то есть $x=-3$ и $x=\dfrac72$. Значит $2x^2-x-21=(x+3)(2x-7)$, и неравенство принимает вид $$\dfrac{(x+3)(2x-7)}{x-1}\ge0,\qquad x\neq-2.$$

6. Отмечаем на числовой прямой точки $-3,\ 1,\ \dfrac72$ и определяем знак выражения на каждом промежутке (метод интервалов, учитывая, что точка $x=1$ — точка разрыва, поэтому не входит в ответ, а $x=-3$ и $x=7/2$ — нули числителя, входят):

• при $x<-3$ — знак «–»;
• при $-3<x<1$ — знак «+»;
• при $1<x<7/2$ — знак «–»;
• при $x>7/2$ — знак «+».

Таким образом решение неравенства $\dfrac{(x+3)(2x-7)}{x-1}\ge0$ — это $x\in[-3;1)\cup[7/2;+\infty)$.

7. Возвращаемся к области определения исходного неравенства и исключаем точку $x=-2$, которая входила в промежуток $[-3;1)$: $$x\in[-3;-2)\cup(-2;1)\cup[7/2;+\infty).$$