Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

ОДЗ: $x\neq 6$, так как в выражении есть $(x-6)^{-1}$.

Введём замену $y=\dfrac{1}{x-6}$. Тогда неравенство принимает вид $$\dfrac{2-y}{5y-1}\le -0{,}2.$$

Переносим $-0{,}2$ влево и приводим к общему знаменателю, чтобы получить одну дробь: $$\dfrac{2-y}{5y-1}+\dfrac{1}{5}\le 0 \;\Rightarrow\; \dfrac{1{,}8}{5y-1}\le 0.$$

Числитель $1{,}8>0$ — постоянная положительная величина, значит знак дроби определяется знаменателем: он должен быть отрицательным (равенство нулю невозможно, так как числитель не равен нулю). Отсюда $5y-1<0$, то есть $y<\dfrac15$.

Возвращаемся к переменной $x$: $\dfrac{1}{x-6}<\dfrac15$. Переносим и приводим к общему знаменателю: $$\dfrac{1}{x-6}-\dfrac15<0 \;\Rightarrow\; \dfrac{5-(x-6)}{5(x-6)}<0 \;\Rightarrow\; \dfrac{11-x}{x-6}<0.$$

Решаем методом интервалов: нули числителя и знаменателя — $x=6$ и $x=11$. При $x<6$ числитель положителен, знаменатель отрицателен — дробь отрицательна (подходит). При $6<x<11$ оба положительны — дробь положительна (не подходит). При $x>11$ числитель отрицателен, знаменатель положителен — дробь отрицательна (подходит).

С учётом ОДЗ ($x\neq6$) получаем ответ.