Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

ОДЗ: знаменатели не равны нулю, значит $x\neq0,\;x\neq5,\;x\neq4$.

Заметим, что $x^{4}-5x^{3}=x^{3}(x-5)$, поэтому числитель дроби слева можно разбить: $x^{4}-5x^{3}+3x-25=x^{3}(x-5)+(3x-25)$. Тогда левая часть равна $$\frac{x^{3}(x-5)+(3x-25)}{x(x-5)}=x^{2}+\frac{3x-25}{x(x-5)}.$$

Подставим это в неравенство и сократим одинаковые $x^{2}$ с обеих сторон: $$\frac{3x-25}{x(x-5)}\ge -\frac{1}{x-4}+\frac{5}{x}.$$

Перенесём $\dfrac{5}{x}$ в левую часть и объединим с уже имеющейся дробью (общий знаменатель $x(x-5)$): $$\frac{3x-25-5(x-5)}{x(x-5)}=\frac{-2x}{x(x-5)}=-\frac{2}{x-5}\quad(x\ne0).$$

Получаем более простое неравенство: $$-\frac{2}{x-5}+\frac{1}{x-4}\ge0.$$

Приводим к общему знаменателю $(x-4)(x-5)$: $$\frac{(x-5)-2(x-4)}{(x-4)(x-5)}\ge0\;\Longleftrightarrow\;\frac{3-x}{(x-4)(x-5)}\ge0.$$

Умножим обе части на $-1$ (меняя знак неравенства) для удобства: $$\frac{x-3}{(x-4)(x-5)}\le0.$$

Применяем метод интервалов для нулей $x=3,4,5$. Проверка знаков на промежутках даёт: