Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

1. Область определения: знаменатели $x^2-2x=x(x-2)$, $x-3$, $x$ не равны нулю, то есть $x\neq0,\;x\neq2,\;x\neq3$.

2. Каждую дробь удобно представить как «целую часть + остаток», выделив в числителе кратное знаменателю выражение: $$\frac{x^2-2x-2}{x^2-2x}=1-\frac{2}{x^2-2x},\qquad \frac{7x-19}{x-3}=7+\frac{2}{x-3},\qquad \frac{8x+1}{x}=8+\frac1x.$$ Это позволяет избавиться от сложных дробей и работать только с простыми слагаемыми вида $\dfrac{a}{f(x)}$.

3. Подставляя это в неравенство и перенося всё влево: $$1-\frac{2}{x(x-2)}+7+\frac{2}{x-3}\le 8+\frac1x\;\Rightarrow\;-\frac{2}{x(x-2)}+\frac{2}{x-3}-\frac1x\le0.$$

4. Приводим к общему знаменателю $x(x-2)(x-3)$ и складываем числители. После раскрытия скобок числитель сокращается до $x(x-1)$: $$\frac{x(x-1)}{x(x-2)(x-3)}\le0.$$

5. Поскольку $x\neq0$, сократим $x$ в числителе и знаменателе (это законно, так как $x=0$ уже исключён из области определения и не теряется как решение): $$\frac{x-1}{(x-2)(x-3)}\le0,\quad x\neq0.$$

6. Решаем методом интервалов: нули числителя и знаменателя — $x=1,\,2,\,3$. Отмечаем их на числовой прямой, ставим знаки на промежутках, начиная справа (для $x>3$ выражение положительно), и чередуя знак при переходе через простые корни. Получаем отрицательные (и нулевые в точке $x=1$) значения на $(-\infty;1]$ и $(2;3)$.

7. Возвращаем исключённую точку $x=0$: убираем её из промежутка $(-\infty;1]$, получая $(-\infty;0)\cup(0;1]$, и оставляем $(2;3)$.

Итог: $(-\infty;0)\cup(0;1]\cup(2;3)$.