Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

Область определения: $x\neq 0$ — знаменатель дроби не может быть нулём.

Перенесём тройку влево и приведём всё к общему знаменателю $x$: $$x^2-3x+1-\frac{x^3+x^2+3x-21}{x}-3\ge 0.$$ Умножаем каждое слагаемое на $x/x$, чтобы все дроби имели общий знаменатель: $$\frac{x(x^2-3x+1)-(x^3+x^2+3x-21)-3x}{x}\ge 0.$$

Раскроем скобки в числителе — это чисто алгебраическое приведение подобных, без смены знака неравенства: $$x^3-3x^2+x-x^3-x^2-3x+21-3x=-4x^2-5x+21.$$ Получаем $$\frac{-4x^2-5x+21}{x}\ge 0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена $-4x^2-5x+21=0$, то есть $4x^2+5x-21=0$: дискриминант $D=25+4\cdot4\cdot21=361=19^2$, корни $x=\dfrac{-5\pm19}{8}$, значит $x_1=-3,\ x_2=\dfrac74$. Отсюда $-4x^2-5x+21=-(x+3)(4x-7)$ (знак минус берём, чтобы старший коэффициент совпал).

Подставляем разложение и меняем знак неравенства, умножая обе части на $-1$ (это меняет $\ge$ на $\le$): $$\frac{(x+3)(4x-7)}{x}\le 0.$$

Метод интервалов: нули числителя $x=-3,\ x=\dfrac74$, нуль знаменателя (исключаемая точка) $x=0$. На числовой прямой отмечаем точки $-3,0,\dfrac74$ и определяем знак выражения на каждом промежутке, учитывая, что при переходе через каждый простой корень знак меняется: