Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

Область определения: знаменатель не равен нулю, значит $x\neq3$.

Переносим 1 влево и приводим все слагаемые к общему знаменателю $(x-3)$: $$\frac{(x^3+2x^2)(x-3)-(24x^2-x+3)-(x-3)}{x-3}\le0.$$

Раскрываем скобки в числителе. Сначала $(x^3+2x^2)(x-3)=x^4-x^3-6x^2$. Вычитаем $24x^2-x+3$: получаем $x^4-x^3-30x^2+x-3$. Затем вычитаем ещё $(x-3)$: слагаемые $x-3$ и $-x+3$ уничтожаются, остаётся $$x^4-x^3-30x^2.$$

Выносим общий множитель $x^2$: $x^4-x^3-30x^2=x^2(x^2-x-30)$. Квадратное выражение $x^2-x-30$ разлагается по корням (найдены через дискриминант) как $(x-6)(x+5)$. Итог: $$\frac{x^2(x-6)(x+5)}{x-3}\le0.$$

Множитель $x^2\ge0$ всегда, поэтому знак дроби определяется знаком $\dfrac{(x+5)(x-6)}{x-3}$, а точка $x=0$ отдельно даёт равенство нулю — она входит в решение.

Отмечаем на числовой прямой точки $-5,\,0,\,3,\,6$ и методом интервалов расставляем знаки функции $\dfrac{(x+5)(x-6)}{x-3}$: при $x>6$ знак «+», при $3<x<6$ — «-», при $0<x<3$ — «+», при $-5<x<0$ — «+», при $x<-5$ — «-». Учитывая, что в точке $x=0$ функция равна нулю, а в $x=3$ не определена, получаем неравенство $\le0$ на промежутках, где знак «-» или значение 0.

Собираем решение: $x\le-5$, $x=0$ и $3<x\le6$.