Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

1. Область допустимых значений: знаменатель не равен нулю, значит $x\neq -6$.

2. Перенесём 6 влево и приведём выражение к общему знаменателю, чтобы получить одну дробь, знак которой легко анализировать: $$x+\frac{20}{x+6}-6\ge 0 \;\Rightarrow\; \frac{(x-6)(x+6)+20}{x+6}\ge 0.$$

3. Раскроем скобки в числителе: $(x-6)(x+6)=x^2-36$, тогда числитель равен $x^2-36+20=x^2-16$. Получаем $$\frac{x^2-16}{x+6}\ge 0.$$

4. Разложим числитель по формуле разности квадратов: $x^2-16=(x-4)(x+4)$. Неравенство принимает вид $$\frac{(x-4)(x+4)}{x+6}\ge 0.$$

5. Применяем метод интервалов. Нулями числителя являются точки $x=-4$ и $x=4$ (они входят в решение, так как неравенство нестрогое), точка $x=-6$ — точка разрыва (не входит в решение).

6. Отмечаем эти точки на числовой прямой и определяем знак дроби на каждом промежутке, подставляя пробные значения:

• при $x>4$ все множители положительны — дробь положительна;
• при $-4<x<4$ множитель $(x-4)<0$, остальные положительны — дробь отрицательна;
• при $-6<x<-4$ отрицателен только $(x+4)$ — дробь положительна;
• при $x<-6$ отрицательны $(x+4)$ и $(x+6)$, а $(x-4)$ тоже отрицателен — дробь отрицательна.

7. Значит неравенство $\ge 0$ выполняется на промежутках $(-6;-4]$ и $[4;+\infty)$, при этом точка $x=-6$ исключается из-за ОДЗ.

Итоговое решение: $x\in(-6;-4]\cup[4;+\infty)$.