Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

Область определения: знаменатели $x-1$ и $2-x$ не должны равняться нулю, значит $x\neq1,\ x\neq2$.

Переносим 5 в левую часть и приводим все три слагаемых к общему знаменателю $(x-1)(2-x)$: $$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{2-x}-5\le0\ \Longleftrightarrow\ \frac{(2-x)+(x-1)-5(x-1)(2-x)}{(x-1)(2-x)}\le0.$$

Раскрываем скобки в числителе. $(2-x)+(x-1)=1$, а $(x-1)(2-x)=-x^2+3x-2$, поэтому $-5(x-1)(2-x)=5x^2-15x+10$. Суммируя, получаем числитель $5x^2-15x+11$. Значит неравенство принимает вид $$\frac{5x^2-15x+11}{(x-1)(2-x)}\le0.$$

Находим корни квадратного трёхчлена числителя по формуле корней: $x=\dfrac{15\pm\sqrt{225-220}}{10}=\dfrac{15\pm\sqrt5}{10}$. Обозначим их $a=\dfrac{15-\sqrt5}{10}$ и $b=\dfrac{15+\sqrt5}{10}$ (оба лежат между 1 и 2, так как $\sqrt5\approx2{,}24$). Тогда числитель раскладывается как $5(x-a)(x-b)$, и неравенство равносильно $$\frac{5(x-a)(x-b)}{(x-1)(2-x)}\le0.$$

Применяем метод интервалов: отмечаем на числовой прямой точки $1,\ a,\ b,\ 2$ (в этом порядке) и определяем знак выражения на каждом промежутке, учитывая, что точки $1$ и $2$ выколоты (там знаменатель равен нулю), а точки $a,b$ включаются (там числитель равен нулю, а деление допустимо). Проверка знаков даёт: выражение отрицательно (или равно нулю) при $x<1$, на отрезке $[a;b]$ и при $x>2$; положительно на интервалах $(1;a)$ и $(b;2)$.

Собираем решение, учитывая знаки неравенства и исключённые точки $1$ и $2$: $$x\in(-\infty;1)\cup\left[\dfrac{15-\sqrt5}{10};\dfrac{15+\sqrt5}{10}\right]\cup(2;+\infty).$$