Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

1. Область определения: знаменатель не равен нулю, то есть $2x-1\neq 0$, то есть $x\neq \dfrac12$.

2. Переносим 1 в левую часть, чтобы получить неравенство вида "дробь $\le 0$": $$\frac{2x^2-2x+1}{2x-1}-1\le 0.$$

3. Приводим к общему знаменателю: вычитаем $1=\dfrac{2x-1}{2x-1}$: $$\frac{2x^2-2x+1-(2x-1)}{2x-1}\le 0 \;\Longrightarrow\; \frac{2x^2-4x+2}{2x-1}\le 0.$$

4. Вынесем общий множитель 2 в числителе и свернём выражение как квадрат разности (это позволяет сразу увидеть знак числителя): $$\frac{2(x^2-2x+1)}{2x-1}=\frac{2(x-1)^2}{2x-1}\le 0.$$

5. Числитель $2(x-1)^2$ всегда неотрицателен (квадрат умножен на положительное число), причём равен нулю только при $x=1$. Значит:

• если $x=1$ — числитель равен 0, а вся дробь равна 0, что удовлетворяет неравенству $\le 0$;
• если $x\neq 1$ — числитель строго положителен, поэтому знак всей дроби определяется знаком знаменателя. Чтобы дробь была $\le 0$, нужно, чтобы знаменатель был отрицателен: $2x-1<0$, то есть $x<\dfrac12$.

6. Объединяя оба случая (и помня про ограничение $x\neq \dfrac12$, которое уже учтено), получаем множество решений: все $x<\dfrac12$ плюс отдельная точка $x=1$.

Итог: $x\in\left(-\infty;\dfrac12\right)\cup\{1\}$.