Задание 15 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные неравенства

Перенесём 1 в левую часть и приведём к общему знаменателю: $$\frac{(x-2)(x-4)(x-7)}{(x+2)(x+4)(x+7)}-1>0.$$

Запишем это как одну дробь: $$\frac{(x-2)(x-4)(x-7)-(x+2)(x+4)(x+7)}{(x+2)(x+4)(x+7)}>0.$$

Раскроем скобки в числителе. По формуле произведения трёх линейных множителей: $$(x-2)(x-4)(x-7)=x^3-13x^2+50x-56,$$ $$(x+2)(x+4)(x+7)=x^3+13x^2+50x+56.$$

Вычтем второе из первого — кубические и линейные члены уничтожаются: $$x^3-13x^2+50x-56-(x^3+13x^2+50x+56)=-26x^2-112.$$

Получаем неравенство $$\frac{-26x^2-112}{(x+2)(x+4)(x+7)}>0.$$

Умножим обе части на $-1$ (знак неравенства меняется): $$\frac{26x^2+112}{(x+2)(x+4)(x+7)}<0.$$

Выражение $26x^2+112$ всегда положительно (сумма положительных чисел, дискриминант не важен — это сумма квадрата и положительной константы). Значит знак всей дроби зависит только от знака знаменателя, и неравенство равносильно $$(x+2)(x+4)(x+7)<0.$$

Решаем методом интервалов с корнями $-7,-4,-2$. Отметим точки на числовой прямой и определим знак произведения на каждом промежутке (справа от всех корней все множители положительны, при переходе через каждый корень знак меняется):

• при $x>-2$: произведение $+$;
• при $-4<x<-2$: произведение $-$;
• при $-7<x<-4$: произведение $+$;
• при $x<-7$: произведение $-$.

Нам нужны промежутки, где произведение отрицательно: $x<-7$ и $-4<x<-2$.

Поскольку исходная дробь не определена при $x=-2,-4,-7$ (знаменатель обращается в 0), эти точки не входят в ответ — но они и не входят в найденные интервалы, так что итоговое решение: $$x\in(-\infty;-7)\cup(-4;-2).$$